5.1.8. Показательный закон распределения времени обслуживания
Часто используется показательный закон распределения времени обслуживания (рис. 5.9).
Функция распределения в этом случае имеет вид:
Плотность распределения:
Рис. 5.9. Функция распределения и плотность распределения времени обслуживания для показательного закона
Среднее время обслуживания равно:
где μ – средняя скорость обслуживания;
μt – число заявок за время обслуживания t.
Д о с т о и н с т в а и с п о л ь з о в а н и я э к с п о н е н ц и а л ь н о г о
з а к о н а р а с п р е д е л е н и я
1) Вероятность, что время обслуживания закончится в малом интервале dt, не зависит от длительности предыдущего интервала обслуживания (система без памяти).
2) При прерывании обслуживания через время Т, оставшееся время (t–T) также распределено по экспоненциальному закону с тем же параметром μ.
5.1.9. Показатели качества обслуживания
1. Вероятность потери заявки q
Это один из важнейших показателей качества работы СМО: чем меньше q, тем выше качество. Вводится как предел по вероятности:
где ε – положительная малая константа;
n – число поступивших заявок;
m – число потерянных заявок из n – первых.
2. Распределение величины очереди y(l)
Закон распределения должен в максимальной степени соответствовать реальной моделируемой ситуации. Часто используется нормальный закон распределения величины очереди.
3. Средняя величина очереди за время T:
Длина очереди за бесконечное время:
4. Загрузка обслуживающего аппарата (прибора):
где ν(t) – количество заявок, поступивших за время t.
Для простейшего Пуассоновского потока ν(t) = λt, где λ = const.
Загрузка ОА является комплексной, интегральной характеристикой, объединяющей одновременно важнейшие характеристики как входного потока заявок, так и самого ОА.
5.1.10. Согласование источника заявок с каналом обслуживания
Способы согласования подразделяются на два основных вида.
1) Синхронный способ. Используется при постоянной скорости поступления заявок. Моменты поступления заявок совпадают с моментами их передачи на обслуживание в канал обслуживания. При этом обслуживающий аппарат может простаивать или отклонять заявки.
2) Асинхронный способ. Используется при неравномерном поступлении заявок с целью избежать их потери. Для реализации необходим буферный накопитель, сглаживающий неравномерность поступления заявок. Главной задачей здесь является выбор емкости буферного накопителя, который основан на оценке средней длины очереди L. При этом используются введенные выше характеристики, такие как среднее время ожидания и среднее время обслуживания. Также используется показатель относительного ухудшения времени обслуживания за счет других заявок:
Случай согласования простейшего пуассоновского источника заявок с каналом с показательным законом распределения времени обслуживания (случай 1)
Случай 1. Пусть на вход системы поступает простой поток заявок, т.е. ν(t)=λt, а время обслуживания распределяется по экспоненциальному закону, т.е. F*(t)=1–exp(–μt).
Пусть также r £ 1. В этом случае обслуживающий прибор справляется с загрузкой, и возникает установившийся процесс обслуживания.
Тогда справедливо следующее выражение:
Известна следующая теорема. За время прохождения заявкой очереди от конца к началу длина очереди остается постоянной и равной числу заявок, пришедших за время ожидания, т.е.
З десь
где T0 – среднее время, необходимое для завершения начатого обслуживания одной заявки при экспоненциальном законе распределения времени обслуживания.
Вообще
и
откуда
и
следовательно
теперь можно найти длину очереди:
Случай согласования простейшего пуассоновского потока заявок с каналом с постоянным временем обслуживания (случай 2)
Случай 2. Пусть на вход системы поступает простейший пуассоновский поток заявок, а время обслуживания постоянно: Т=Тобсл.
Функция распределения времени обслуживания в этом случае имеет вид, показанный на рисунке 5.10. (см. Приложение 3).
Рис. 5.10. Функция распределения в случае постоянного времени обслуживания
F*(t)=1[t – Tобсл] – это уже не случайная функция! Такое распределение называется вырожденным.
Плотность распределения w*(t) в этом случае есть производная от единичной ступенчатой функции, т.е. дельта-функция δ[t-Tобсл], смещенная относительно начала координат вправо по оси времени на величину Tобсл (рис. 5.11).
Рис. 5.11. К стробирующему свойству дельта-функции Дирака
Используется стробирующее свойство δ-функции:
В данном случае загрузка обслуживающего прибора будет равна:
