5.1.5. Характеристики входного потока заявок

Рассмотрим простейший поток заявок, который обладает следующими свойствами.

С в о й с т в а п р о с т е й ш е г о п о т о к а

Ординарность – означает невозможность прихода в одно и тоже время нескольких заявок;

Стационарность – означает неизменность характеристик потока заявок во времени: l = const, где l – среднее число заявок в единицу времени, называемой величиной потока.

Отсутствие последействия – означает, что число заявок, поступающее в некоторый промежуток времени зависит только от этого промежутка времени и не зависит от предыстории (отсутствие памяти у системы).

Х а р а к т е р и с т и к и в х о д н о г о п о т о к а

1. Функция распределения времени ожидания (прихода заявки) F(t)

Характеризует входной поток заявок, поступающих в СМО на обслуживание. Задается конкретным выражением закона распределения

(например, любого из приведенных в Приложении 3).

2. Плотность распределения времени ожидания (прихода заявки)

Эта характеристика представляет собой производную по времени от функции распределения вероятности F(t):

Обычно достаточно задания только одной характеристики: F(t) или w(t), поскольку каждая из них позволяет полностью определить другую.

3. Среднее время ожидания (прихода заявки)

Это, как и следует из названия, усредненная характеристика; она соответствует математическому ожиданию, или среднему арифметическому значению для n пришедших заявок:

где n – число заявок.

Простейший поток заявок называется также пуассоновским потоком, так как число заявок простейшего потока в интервале [0, t] и в любом другом интервале длительностью t распределено по закону Пуассона.

5.1.6. Функция распределения Пуассона

Функция распределения Пуассона задает вероятность прихода n заявок в интервале длительностью t в соответствии с выражением:

г де n ³ 0;

λt – число заявок за время t, носит название параметра распределения.

На рис. 5.8 показаны кривые распределения Пуассона для разных значений n.

С математической точки зрения распределение Пуассона является дискретным многомерным распределением вероятностей.

Из рисунка 5.8 видно, что с увеличением интервала времени вероятность отсутствия заявки (n=0) только уменьшается, тогда как графики вероятностей прихода 1, 2, 3 и т.д. заявок (соответственно n =1,2,3 и т.д.) имеют максимумы. Это объясняется тем, что с увеличением временного интервала вначале вероятность поступления именно данного числа заявок возрастает, а затем начинает уменьшаться – за счет возрастания вероятности прихода большего (чем данное n) числа заявок.

Рис. 5.8. Функция распределения простейшего пуассоновского потока заявок

5.1.7. Характеристики обслуживания

1. Функция распределения времени обслуживания (интервала занятости) F*(t)

Характеризует процесс обслуживания заявок, поступающих в СМО. Задается конкретным выражением закона распределения, например, любого из приведенных в Приложении 3.

2. Плотность распределения времени обслуживания w*(t)

Эта характеристика (аналогично вышеупомянутой плотности из п.3) представляет собой производную по времени от функции распределения вероятности F*(t):

3. Среднее время обслуживания (интервала занятости):

Усредненная характеристика процесса обслуживания (аналогичная вышеупомянутому математическому ожиданию из п. 4).