5.1.11. Оценка эффективности многоканальной смо

Рассмотрим многоканальную СМО, в которой выполняются следующие требования.

• На вход системы поступает простейший поток заявок;

• Каждый канал обслуживает одну заявку;

• Время обслуживания подчиняется показательному закону;

• Если хотя бы один канал свободен, то заявка принимается на обслуживание;

• Заявка теряется, если поступает в тот момент, когда все каналы заняты, т.е. другими словами это система с отказами.

Рассмотрим следующие критерии эффективности работы СМО:

1) вероятность отказа в обслуживании P_отк;

2) относительная пропускная способность π₀;

3) абсолютная пропускная способность π.

Обозначим состояния системы соответствующими вероятностями (табл. 6):

Таблица 6

Состояние СМО	Описание состояния	Вероятность
0	Все каналы свободны	P0(t)
1	1 канал занят	P1(t)
. . . . . . .	. . . . . . . .	. . . .
N	Все каналы заняты	Pn(t)= Pотк

Ф о р м у л а Э р л а н г а

Чтобы получить выражение для исходных критериев необходимо составить систему дифференциальных уравнений, связывающую вероятности предыдущих и последующих состояний СМО (уравнений Колмогорова) и, затем, решить эту систему.

На практике часто представляет интерес установившийся процесс, описываемый стационарным решением указательной системы дифференциальных уравнений при t→∞.

При этом, для всех индексов k, от 1 до n производные равны нулю и система дифференциальных уравнений превращается в систему алгебраических уравнений Колмогорова:

Решением подобной системы уравнений для случая n обслуживающих аппаратов является формула Эрланга, выражающая предельные вероятности состояний P_k:

где ρ – нормированная интенсивность входного потока заявок (загрузка обслуживающего прибора).

Формула Эрланга дает вероятность того, что k каналов из n заняты обслуживанием заявок.

К р и т е р и и э ф ф е к т и в н о с т и р а б о т ы м н о г о к а н а л ь н о й СМО

С помощью формулы Эрланга найдем выражения для введенных критериев.

Вероятность отказа в обслуживании – вероятность того, что в момент прихода заявки все обслуживающие приборы будут заняты (в формуле Эрланга k = n):

Относительная пропускная способность – вероятность обслуживания:

Абсолютная пропускная способность – количество заявок в единицу времени:

П р и м е р о ц е н к и э ф ф е к т и в н о с т и р а б о т ы

м н о г о к а н а л ь н о й СМО

Рассмотрим работу участка токарных станков.

Участок включает 3 одинаковых станка со среднем временем обработки одной детали 3 минуты.

Детали приходят на участок в среднем через 2 минуты.

Требуется определить вероятность отказа, а также относительную и абсолютную пропускную способность участка.

Решение

Три станка на участке означает, что n=3.

1. Определим среднюю скорость поступления заявок (деталей):

λ=1/2 [мин^-1].

2. Определим среднюю скорость обслуживания: μ=1/3 [мин^-1].

3. Найдем величину загрузки обслуживающего прибора (станка):

ρ= λ/ μ=3/2=1,5.

Если бы на участке был только один станок с такой загрузкой ρ>1, то, как известно из теории, он не справился бы с таким потоком деталей, и число отказов неограниченно возрастало бы (если учитывать очередь, то она возрастала бы до бесконечности L→∞).

4. Найдем вероятность отказа в обслуживании для трех станков, используя формулу Эрланга:

Это означает, что в среднем из 100 поступающих на обработку деталей 17 (точнее: из 1000 – 176) могут быть не приняты (отправлены назад, например, в тару), так как в это время все 3 станка заняты обработкой других деталей.

5. Найдем относительную пропускную способность (вероятность обслуживания):

π₀=1 – P₃= 1 – 0,17647 = 0,82353.

Это означает, что в среднем из 100 поступающих на участок деталей примерно 82 будут обработаны.

6. Определим абсолютную пропускную способность:

π=λ·π₀=0,5·0,82353·60=24,7059 [дет/час].

Заметим, что если бы детали приходили на участок не случайным образом, а регулярно, т.е. строго каждые 2 минуты, то все детали на участке успевали бы обрабатываться, и даже еще оставалось бы время, т.е. никаких отказов бы не было! Это следует из того, что среднее время обработки одной детали участком из трех станков равно:

μ₃=(1/3) · 3=1[мин^-1] → Т₃=1/ μ₃=1 [мин].

Возможности оценки характеристик СМО с использованием аналитических моделей теории массового обслуживания ограничены по сравнению с теми требованиями, которые предъявляют практические задачи, возникающие при исследовании и проектировании реальных систем.