9.2. Модели планирования эксперимента

Наиболее широкое применение для планирования нашли модели в виде алгебраических многочленов. Рассмотрим влияние k количественных факторов х_i i =1,2,…,k на некоторую реакцию в ограниченной [х_imin, х_imax], i=1,2,…,k по условию проведения эксперимента локальной области факторного пространства G. На рис. 9.1 показан случай для k = 2.

Пусть функция реакции ψ(x₁,x₂,…x_k) может быть представлена с некоторой степенью точности полиномом степени d от k переменных факторов:

причем этот полином включает коэффициентов, где – число сочетаний из k+d элементов по d.

Рис. 9.1. Поверхность реакции Ψ(x₁,x₂)

Иначе данный полином можно представить в виде:

где – вектор с компонентами , входящими в исходный полином; – вектор коэффициентов. Таким образом,

Если ввести фиктивные переменные x₀=1, а также

то можно записать функцию реакции в виде однородного линейного уравнения:

где

Для оценки коэффициентов данного уравнения можно использовать методы линейной регрессии.

Пример. Аппроксимация функции реакции с помощью полиномов второго порядка в однофакторной модели планирования имеет вид:

В случае использования более сложных объектов требуется применение полиномиальных моделей планирования более высокого порядка. Например, модель второго порядка в k-факторном эксперименте будет иметь вид:

На практике часто используют линейную модель планирования, преобразуя для этого исходные полиномиальные модели. Так, например, модель второго порядка

можно преобразовать к линейному виду путем введения фиктивных переменных x_ij=x_ix_j. В результате получается модель множественной линейной регрессии:

Функция реакции может зависеть от факторов и более сложным образом. Наиболее известны: мультипликативная, регрессионная, экспоненциальная и ряд других моделей, которые приводятся к линейному виду.

После выбора модели планирования и записи ее уравнения необходимо в отведенной для эксперимента области факторного пространства G спланировать и провести эксперимент, который позволит оценить числовые значения коэффициентов уравнения модели. Поскольку полином содержит коэффициентов, подлежащих определению, то план эксперимента D должен содержать не менее различных экспериментальных точек:

где x_ij – значения, которые принимает i-я переменная в j-м испытании,

Проведя испытания в N точках факторного пространства, принадлежащих области, отведенной для эксперимента, получим вектор наблюдения:

где y_j – реакция, соответствующая j-й точке плана

В предположении незначительного влиянии неуправляемых входных переменных и параметров по сравнению с вводимыми возмущениями управляемых переменных в планировании эксперимента может быть использована следующая модель:

где e_j – случайная ошибка испытания (шум, флуктуация), относительно которой действует предположение о нормальности распределения вероятности с нулевым математическим ожиданием M[e_j]=0 и постоянной дисперсией D[e_j]=σ_j²=const.

Совокупность аналогичных соотношений для всех точек плана получим матрицу планирования размерностью N×(k′+1):

Рассмотрим этапы планирования эксперимента для случая линейной аппроксимации поверхности реакции. Вначале выбирается локальная область факторного пространства G, в которой будет проводиться эксперимент. Для этого, исходя из свойств исследуемого объекта, определяют верхние и нижние границы каждого фактора x_{i min} и x_{i max}. Например, такой параметр, как коэффициент передачи разомкнутой системы управления, с одной стороны, не может быть нулевым (это означает разрыв цепи), а с другой стороны, не может быть равным, а тем более превышающим критическое значение, связанное с границей устойчивости системы. Подобные ограничения обычно существуют и для других переменных, участвующих в эксперименте, таких как температура, давление, напряжение, сила тока, перемещение, скорость, ускорение и т.п.

Затем определяется локальная подобласть планирования эксперимента путем выбора основного уровня x_i0 и интервалов варьирования Δx_i, i=1,…,k. В качестве исходной точки x_i0 выбирают точку, соответствующую наилучшим условиям, полученным с помощью анализа априорной информации о системе, причем эта точка не должна располагаться вблизи границ области определения факторов x_{i min} и x_{i max}. Интервалы варьирования Δx_i также не могут выбираться произвольно: снизу они ограничены величиной ошибки фиксирования уровня фактора, а сверху – условием, что и нижний, и верхний уровни фактора должны оставаться в пределах области определения G.

Далее в рамках выбранной модели планирования, представляющей собой алгебраические полиномы, строится план эксперимента путем варьирования каждого из факторов x_i, i=1,…,k на нескольких уровнях q относительно исходной точки x_i0, представляющей центр эксперимента.