5.2.7. Анализ сетей Петри

Анализ сложных систем на базе сетей Петри можно выполнять посредством имитационного моделирования СМО, представленных моделями сетей Петри. При этом задают входные потоки заявок и определяют соответствующую реакцию системы. Выходные параметры СМО рассчитывают путем обработки накопленного при моделировании статистического материала.

Возможен и другой подход к использованию сетей Петри для анализа объектов, исследуемых на системном уровне. Он не связан с имитацией процессов и основан на исследовании таких свойств сетей Петри, как ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость.

Ограниченность (или К-ограниченность) имеет место, если число меток в любой позиции сети не может превысить значения К. При проектировании автоматизированных систем определение К позволяет обоснованно выбирать емкости накопителей. Возможность неограниченного роста числа меток свидетельствует об опасности неограниченного роста длин очередей.

Безопасность — частный случай ограниченности. Конкретно безопасность соответствует 1-ограниченности. Если для некоторой позиции установлено, что она безопасна, то ее можно представлять одним триггером.

Сохраняемость характеризуется постоянством загрузки ресурсов, т.е.

где N_i – число маркеров в i-й позиции; A_i – весовой коэффициент.

Достижимость М_k → М_j характеризуется возможностью достижения маркировки М_j из состояния сети, характеризуемого маркировкой М_k.

Живость сети Петри определяется возможностью срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта. Отсутствие живости означает либо избыточность аппаратуры в проектируемой системе, либо свидетельствует о возможности возникновения зацикливаний, тупиков, блокировок.

В основе исследования перечисленных свойств сетей Петри лежит анализ достижимости.

Один из методов анализа достижимости любой маркировки из состояния М₀ – построение графа достижимости. Начальная вершина графа отображает М₀, а остальные вершины соответствуют маркировкам. Дуга из М_i, в М_j означает событие М_i → М_j и соответствует срабатыванию перехода t. В сложных сетях граф может содержать чрезмерно большое число вершин и дуг. Однако при построении графа можно не отображать все вершины, так как многие из них являются дублями (действительно, от маркировки М_k всегда порождается один и тот же подграф вне зависимости от того, из какого состояния система пришла в М_k).

На рис. 5.18 показана сеть Петри к примеру с одной рабочей станцией и N пользователями. Граф достижимости для данной сети показана на рис. 5.19.

Рис. 5.18. Сеть Петри к примеру 1

На рисунке 5.19 вершины графа изображены в виде маркировок, дуги помечены срабатывающими переходами. Данная сеть явно обладает свойством живости, так как срабатывают все переходы, а тупики отсутствуют.

Рис. 5.19. Граф достижимости сети Петри к примеру 1

Пример 3. Сеть Петри для двухпроцессорной вычислительной системы с общей памятью и ее граф достижимости представлены на рис. 5.20. Сеть является живой: все разметки достижимы.

Рис. 5.20. Сеть Петри и ее граф достижимости к примеру 2