Игры без седловых точек

Итак, если матрица игры содержит седловую точку, то ее решение находится по принципу минимакса. Рассмотрим методику решения игры, в платежной матрице которой отсутствует седловая точка. Применение минимаксных стратегий каждым из игроков обеспечивает первому выигрыш не меньше , а второму проигрыш не больше . Учитывая, что < , естественно для игрока I желание увеличить выигрыш, а для игрока II - уменьшить проигрыш. Поиск такого решения приводит к применению сложной стратегии, состоящей в случайном применении двух и более чистых стратегий с определенными вероятностями. Такая сложная стратегия в теории игр называется смешанной. Смешанные стратегии игроков I и II будем обозначать, соответственно, и где , ‑ вероятности применения соответствующих чистых стратегий. Очевидно, должны выполняться условия нормировки для вероятностей:

Одна из основных теорем теории игр утверждает, что любая конечная игра двух лиц с нулевой суммой имеет, по крайней мере, одно решение, возможно, в смешанных стратегиях. Из этой теоремы следует, что каждая конечная игра имеет цену. Обозначим ее так же, как чистую цену игры, через . Цена игры - средний выигрыш, приходящийся на одну партию, - всегда удовлетворяет условию , т.е. лежит между нижней ( ) и верхней ( ) ценами игры. Следовательно, каждый игрок при многократном повторении игры, придерживаясь смешанных стратегий, получает более выгодный для себя результат. Оптимальное решение игры в смешанных стратегиях, так же как и решение в чистых стратегиях, характеризуется тем, что каждый из игроков не заинтересован в отходе от своей оптимальной смешанной стратегии, если его противник применяет оптимальную смешанную стратегию, так как это ему невыгодно.

Стратегии игроков, входящие в их оптимальные смешанные стратегии, называются активными.

Использование линейной оптимизации при решении матричных игр

Пусть игра не имеет оптимального решения в чистых стратегиях, т.е. седловая точка отсутствует .

Будем считать, что все элементы платежной матрицы неотрицательны (если это не так, то можно ко всем элементам матрицы добавить некоторое число L, переводящее платежи в область неотрицательных значений - очевидно, при этом цена игры увеличится на L, а решение задачи не изменится). Таким образом, предполагаем, что >0.

Будем искать решение игры в смешанных стратегиях:

;

Применение игроком I оптимальной смешанной стратегии гарантирует ему, независимо от поведения игрока II, выигрыш, не меньший цены игры  .

Пусть игрок II применяет свою активную чистую j-ю стратегию, а игрок I - свою оптимальную стратегию . Тогда средний выигрыш игрока I будет равен

Учитывая, что не может быть меньше , запишем условия:

(4.4)

Разделив левую и правую части каждого из неравенств (4.4) на цену игры >0, получим:

(4.5)

При использовании обозначений:

(4.6)

неравенства (4.5) примут вид:

(4.7)

где, очевидно, все , так как .

Из равенства и в силу определения (4.6) следует, что переменные ( ) удовлетворяют условию:

Учитывая, что игрок I стремится максимизировать , получаем линейную функцию:

(4.8)

Таким образом, задача решения игры свелась к следующей задаче линейной оптимизации: найти неотрицательные значения переменных минимизирующие линейную функцию (4.8) и удовлетворяющие ограничениям (4.7).

Из решения задачи линейной оптимизации легко найти цену игры и оптимальную стратегию игрока I:

В свою очередь, оптимальная стратегия игрока II может быть найдена из выражения

где - неотрицательные переменные задачи линейной оптимизации:

,

которая является двойственной по отношению к задаче, представленной условиями (4.7) и (4.8).

В этой системе неравенств переменные .

Таким образом, оптимальные стратегии и игры с платежной матрицей ( ) могут быть найдены путем решения симметричной пары двойственных задач линейной оптимизации.

Исходная задача		Двойственная задача

Цена игры и вероятности применения стратегий игроками I и II равны: