Принцип оптимальности Парето. Неулучшаемые (оптимальные по Парето) решения

Рассмотрим проблемную ситуацию, решения которой оцениваются по некоторой совокупности показателей (под может пониматься, например, целевая функция, описывающая какую-либо характеристику производственного процесса, показатель функционирования предприятия и т.п.). Для наглядности можно представлять, что в выборе решения участвуют сторон, каждая из которых заинтересована в максимизации соответствующего (“своего”) показателя. При этом -я сторона может выбрать любое допустимое для нее решение . Чрезвычайно важно, что решение, выбранное этой стороной, влияет на эффективность всех остальных. Это означает, что показатель эффективности любой стороны зависит от совокупности допустимых решений всех сторон, т.е. .

Решение стороны предпочтительнее ее решения , если:

.

На основании вышесказанного (учитывая наличие сторон, самостоятельно выбирающих свои решения), можно сформулировать принцип единогласия, известный как принцип оптимальности Парето):

Если для всех сторон допустимые решения предпочтительнее решений , то последние не будут приняты (единогласно отвергнуты).

Как правило, на практике совокупность решений оказывается неединственной и образует некоторое множество решений, оптимальных по Парето. Любой набор решений из этого множества не может быть улучшен сразу по всем показателям . В силу этого решения, оптимальные по Парето, называются также неулучшаемыми. Следует отметить, что задачи, в которых имеется единственная совокупность неулучшаемых решений, встречаются исключительно редко. Любое решение из множества является неулучшаемым. Изменением этого решения невозможно добиться увеличения какого-либо показателя эффективности, не уменьшая при этом хотя бы одного из остальных. Выбор конкретного решения из множества оптимальных по Парето может быть осуществлен лишь на основе компромисса на основе переговоров ЛПР всех заинтересованных сторон.

Хотя до сих пор мы считали, что в выборе решения участвуют различных сторон, рассмотренные понятия и вся формулировка в целом совершенно аналогичны и в том случае, когда выбор решения осуществляет одна сторона, руководствующаяся не единственным, а некоторой совокупностью показателей эффективности. Принятие какого-либо конкретного решения из множества Парето является при этом прерогативой исключительно ЛПР и осуществляется, как правило, на основе его субъективных предпочтений.

Принцип равновесия по Нэшу

Пусть все стороны выбрали решения, оптимальные по Парето (назовем эту ситуацию оптимальной по Парето). Согласно принципу оптимальности Парето, все стороны, действуя совместно, не могут увеличить эффективность своих решений. Однако любая сторона, уклонившись от ситуации, оптимальной по Парето, при определенных условиях может добиться большего значения “своего” показателя эффективности. Иными словами, ситуации, оптимальные по Парето, не обладают устойчивостью по отношению к отклонениям от них какой-либо стороны. В то же время желательно, чтобы ни одна из сторон, действуя в одиночку, не могла увеличить эффективность выбираемых ею решений. Другими словами, необходим поиск таких ситуаций, отклонение от которых было бы невыгодным ни для одной из сторон по отдельности.

Существование ситуаций, являющихся устойчивыми в смысле невыгодности отклонения от них ни одной из сторон, приводит к принципу равновесия по Нэшу.

Ситуацию, характеризующуюся набором решений , называют равновесной по Нэшу, если для всех имеет место неравенство:

.

Если прочитать эти неравенства справа налево, то можно видеть, что замена какого-либо одного решения, входящего в равновесную ситуацию, любым другим из множества допустимых, уменьшает соответствующий показатель эффективности. Если под понимать показатели эффективности сторон, то из определения ситуации равновесия по Нэшу следует, что ни одна из них не заинтересована в изменении решения входящего в ситуацию равновесия, если все остальные стороны сохраняют решения, соответствующие этой ситуации.

Таким образом, если стороны предварительно договариваются о выборе решений, образующих равновесную ситуацию, то индивидуальное нарушение этого договора невыгодно нарушителю. Отметим некоторые особенности равновесных ситуаций:

• Ситуация равновесия может оказаться не единственной.

• Ситуации равновесия часто оказываются в разной степени предпочтительными для различных сторон. Иначе говоря, показатели эффективности решений сторон имеют неодинаковые значения в различных равновесных ситуациях. В связи с этим какая-то равновесная ситуация, выгодная для одной стороны, может оказываться невыгодной для других. Поэтому решение -й стороны, соответствующее какой-либо равновесной ситуации, не следует трактовать как оптимальное для этой стороны. Равновесность как принцип оптимальности имеет смысл только для набора равновесных решений всех сторон.

• Ситуации равновесия могут совпадать или не совпадать с ситуациями оптимальными по Парето.