Критерий Вальда

Данный критерий базируется на принципе наибольшей осторожности и использует выбор наилучшей из наихудших стратегий (в связи с чем его относят к группе критериев крайнего пессимизма).

Если в исходной матрице (по условию задачи) результат представляет собой потери ЛПР, то при выборе оптимальной стратегии используется минимаксный критерий. В этом случае для определения оптимальной стратегии необходимо в каждой строке матрицы результатов найти наибольший элемент, а затем выбирается действие (строка), которому будет соответствовать наименьший элемент из этих наибольших элементов.

Наоборот, если в исходной матрице по условию задачи результат представляет выигрыш, то при выборе оптимальной стратегии используется максиминный критерий. Иначе говоря, в качестве оптимальной рекомендуется выбирать ту стратегию, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш,

.

Следует отметить, что критерий Вальда иногда приводит к нелогичным выводам вследствие своей чрезмерной “пессимистичности”, в связи с чем, часто при решении аналогичных задач используется близкий по смыслу критерий Сэвиджа.

Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Данный критерий использует матрицу рисков. При использовании критерия Сэвиджа рекомендуется выбирать ту стратегию, при которой в наихудших условиях величина риска принимает наименьшее значение:

(4.10)

Иначе говоря, данный критерий рекомендует в условиях неопределенности выбирать ту стратегию, при которой величина риска принимает наименьшее значение в самой неблагоприятной ситуации (когда риск максимален).

Критерий Гурвица

Критерий Гурвица устанавливает баланс между случаями крайнего пессимизма и крайнего оптимизма путем введения некоторых весовых коэффициентов и , где При этом предполагается, что природа может находиться в самом невыгодном для ЛПР состоянии с вероятностью и в самом выгодном – с вероятностью .

Этот критерий называют еще принципом пессимизма - оптимизма. Он может быть выражен в виде соотношения:

(4.11)

Очевидно, что при критерий Гурвица превращается в пессимистический критерий Вальда, а при - в критерий крайнего оптимизма. Значение выбирается в зависимости от склонности ЛПР к пессимизму или оптимизму, а также на основании опыта, здравого смысла и т.д.

Следует отметить, что выбор критерия принятия решений в условиях неопределенности является наиболее сложным и ответственным этапом в процессе принятия решения. При этом не существует каких-либо общих советов или рекомендаций. Выбор критерия должен производиться ЛПР, с учетом конкретной специфики решаемой задачи и в соответствии с его целями, на основе прошлого опыта и интуиции.

В частности, в случае, когда даже минимальный риск недопустим, следует применять критерий Вальда. Если, наоборот, определенный риск вполне приемлем и ЛПР намерено вложить в некоторое предприятие столько средств, чтобы впоследствии не сожалеть о слишком малой величине вложений, то выбирают критерий Сэвиджа.

Оценка необходимости эксперимента в условиях неопределенности

Для любой экономической задачи, решаемой с помощью теории статистических игр (игр с природой), может быть определено абсолютно минимальное значение выигрыша, который ЛПР получит в наихудшей для себя ситуации. Эта величина может быть равна, например, сумме затрат на производство продукции при нулевой выручке от ее реализации, максимально возможным потерям, возникшим вследствие принятого решения и т.д. В процессе принятия решения для определения наиболее выгодной стратегии ЛПР необходима информация о вероятностях состояния природы (окружающей среды). В частности, повышение уровня информированности может быть достигнуто при обращении ЛПР к услугам консультационной службы, способной составить хорошо обоснованный прогноз развития ситуации. Можно рассматривать данное действие как своего рода “эксперимент”, проведение которого, несомненно, требует затраты определенных средств.

С экономической точки зрения эксперимент целесообразно проводить в том случае, если затраты на его проведение не превышают выигрыша, который можно получить при более точном знании стратегии природы. Рассмотрим решение проблемы, основанное на известных вероятностях состояний природы, которое гарантирует при многократном повторении игры в сходных условиях получение максимального в среднем выигрыша.

Пусть известны матрица выигрышей игры с природой и вероятности различных состояний природы . Известны также затраты на проведение эксперимента, которые составляют руб.

Если эксперимент не проводится, то средний выигрыш игрока I определяется выражением:

.

Пусть эксперимент проведен, и выяснено действительное состояние природы. Если этим состоянием оказалось , то выигрыш первого игрока если , то выигрыш и т.д. Наконец, при действительном состоянии природы выигрыш игрока I . Если истинное состояние природы неизвестно, то гипотетический средний выигрыш игрока I находится из выражения .

Таким образом, условие целесообразности проведения эксперимента можно записать в виде:

.

Если данное условие не выполняется, то эксперимент проводить нецелесообразно и в качестве оптимальной стратегии следует выбирать ту, для которой средний риск минимален.

Пример 3.

Матрица выигрышей игры с природой приведена ниже. Вероятности состояний природы известны и равны соответственно:

Затраты на проведение эксперимента для выяснения условий, в которых будет осуществляться операция, составляют 0,8 млрд. руб. Необходимо определить целесообразность проведения эксперимента в предположении, что он позволяет точно определить состояние природы , при котором будет осуществляться операция.

Матрица выигрышей для примера 3.

I I I
А1	4	1	2	5
А2	3	2	0	4
А3	0	3	2	5

Решение.

Введем данные на рабочий лист в соответствии с Рис. 4.4.

Рис. 4.4. Данные для решения примера 3

Введем необходимые формулы для расчета введенных выше параметров . В ячейку F2 введем формулу:

=СУММПРОИЗВ(B2:E2;$B$8:$E$8)

и скопируем ее в ячейки F3, F4. В ячейку F5 введем формулу для расчета максимального из чисел в столбце F: =МАКС(F2:F4), а в ячейки B5:E5 – формулы для определения максимальных значений чисел в соответствующих столбцах.

В ячейку E11 введем формулу для расчета параметра (=СУММПРОИЗВ(B5:E5;B8:E8)), а в ячейку F11 формулу, осуществляющую связь с ячейкой F5 (=F5). В ячейке G11 рассчитаем разность .

В ячейку E14 (под надписью Рекомендация), введем формулу =ЕСЛИ(G11>A11;A15;A16), для того, чтобы автоматизировать процесс получения рекомендации о целесообразности эксперимента.

В результате получим ответ:

Стратегия	П1	П2	П3	П4	Выигрыш
A1	4	1	2	5	3,55
A2	3	2	0	4	2,65
A3	0	3	2	5	2,85
	4	3	2	5	3,55
	q1	q2	q3	q4
	0,25	0,15	0,2	0,4
Затраты на проведение эксперимента (С)						разность
0,8				3,85	3,55	0,3
				Рекомендация
				Эксперимент производить нецелесообразно

Так как затраты на проведение эксперимента превосходят величину выигрыша, то в данном случае эксперимент проводить нецелесообразно.

Пример 4.

Торговое предприятие планирует продажу сезонных товаров с учетом возможных вариантов поведения покупательского спроса ( ). Предприятием разработано три хозяйственных стратегии продажи товаров ( ). Требуется найти оптимальное поведение торгового предприятия, пользуясь критериями Вальда, Гурвица (при ) и Сэвиджа, если товарооборот, зависящий от стратегий предприятия и покупательского спроса представлен в виде следующей платежной матрицы.