3.3.1.3.3. Метод итерации (метод последовательных приближений)
Пусть требуется решить уравнение . Преобразуем его к виду:
(3.32)
На
заданном отрезке
выбираем начальное приближение корня
x0.
Подставляем его в правую часть уравнения (3.32) и получаем первое приближение корня x1:
(3.33)
Аналогичным образом определим второе приближение корня:
(3.34)
Продолжая
этот процесс далее, получаем
последовательность чисел
, определяемых соотношением:
(3.35)
Итерационные
вычисления продолжают до тех пор, пока
для двух последовательных приближений
и
не выполнится условие:
(3.36)
Достаточным
условием сходимости
метода
итерации, гарантирующим, что последовательно
определяемые значения
будут приближаться к искомому корню
уравнения x*,
является условие:
для
,
(3.37)
причем скорость сходимости будет тем больше, чем меньше число q.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию метода итерации. Исходное уравнение приводим к виду:
(3.38)
Строим
графики функций y
= x
и y
=
.
Абсцисса точки пересечения этих графиков
и будет являться корнем x*
уравнения f(x)
= 0.
Рассмотрим несколько возможных вариантов итерационного процесса.
В
а р и а н т 1.
(рис. 3.9).
Задаем
начальное приближение
.
Определяем
.
Через точку А0
с координатами
проводим горизонтальную линию до
пересечения с прямой y
= x
в точке В1.
Через точку В1
проводим вертикальную линию, пересекающую
кривую y
=
и ось Оx.
Точка пересечения этой линии с осью Оx
даст первое приближение корня x1,
а точка пересечения ее с кривой y
=
– точку А1
с координатами
.
Через точку А1
проводим горизонтальную линию до
пересечения с прямой y
= x
(точка В2).
Вертикальная линия, проведенная через
точку В2,
пересекая ось Оx,
даст второе приближение корня x2,
а также определит на кривой y
=
точку А2
с
коорд
инатами
Продолжая действия по такой же схеме,
получаем на оси Оx
последовательность значений
,
приближающихся
(
сходящихся)
к истинному значению корня x*.
Причем все последовательные приближения
находятся с одной стороны от корня x*.
Такая сходимость называется
монотонной
или
односторонней.
В
а р и а н т 2.
(рис.
3.10). Итерационный процесс расходится.
В
а р и а н т 3.
(рис. 3.11).
Итерационный процесс сходится. Процесс
сходимости носит
колебательный
характер (двусторонняя
сходимость).
В
а р и а н т 4.
(рис. 3.12). Итерационный процесс расходится.
Р
екомендации
по преобразованию исходного уравнения.
Преобразование исходного уравнения
к
эквивалентному уравнению
может быть осуществлено различными
способами. Выбор конкретного способа
определяется целью – получить такую
функцию
,
для которой
выполняется условие сходимости
.
Рассмотрим несколько примеров.
П р и м е р 16. Пусть требуется определить корень уравнения
4x3 – 15x + 7 = 0 (3.39)
на отрезке [0, 1].
С п о с о б 1 – прибавляем к обеим частям исходного уравнения x:
(4x3 – 15x + 7) + x = x, (3.40)
получаем:
4x3 – 14x + 7 = x. (3.41)
Следовательно,
= 4x3 – 14x + 7. (3.42)
Проверяем, выполняется ли условие сходимости на отрезке [0, 1]:
=
12x2
– 14,
(3.43)
=
| –14 | > 1, (3.44)
=
| 12–14 | >1 . (3.45)
Условие сходимости не выполняется, следовательно, функция в таком виде непригодна.
С п о с о б 2 – выражаем x из исходного уравнения:
– 15x = – 7 – 4x3, (3.46)
получаем:
(3.47)
Следовательно,
.
(3.48)
Проверяем, выполняется ли условие сходимости на отрезке [0, 1]:
=
|0|<1; (3.49)
<
1.
(3.50)
Условие
сходимости выполняется на заданном
отрезке, значит, можно воспользоваться
функцией
для реализации метода итерации.
П р и м е р 17. Пусть требуется определить корень уравнения
(3.51)
на отрезке [0, 1].
С п о с о б 3 – представляем исходное уравнение в виде:
(3.52)
и логарифмируем обе части этого уравнения:
,
(3.53)
получаем:
x
=
.
(3.54)
Следовательно,
=
,
(3.55)
=
.
(3.56)
Проверяем, выполняется ли условие сходимости на отрезке [0, 1]:
=
|-0,5| < 1; (3.57)
=
|-0,269| < 1.
(3.58)
Условие сходимости выполняется.
С п о с о б 4 – для некоторых уравнений рассмотренные выше способы преобразования не дают желаемых результатов. В таких случаях рекомендуется применить следующий прием, гарантирующий выполнение условия сходимости метода итерации.
Левую и правую части исходного уравнения f(x) = 0 умножаем на произвольную константу λ и прибавляем к обеим частям неизвестное x:
x = x + λf(x), (3.59)
тогда
= x + λf(x). (3.60)
Коэффициент λ задается следующим образом:
λ
=
,
(3.61)
где
M
– наибольшее значение производной
на отрезке [a,
b],
М
=
(3.62)
П р и м е р 18. Пусть требуется определить корень уравнения
x3 +3x2 –3=0 (3.63)
на отрезке [0,5; 1,5].
Представляем исходное уравнение в виде:
x = x + λ( x3 +3x2 –3), (3.64)
таким образом,
= x + λ( x3 +3x2 –3). (3.65)
Определяем λ:
λ = , (3.66)
где
М =
следовательно,
λ =
=
– 0,063.
Таким образом,
= x – 0,063( x3 +3x2 –3), (3.67)
=1–
0,19x2–
0,38x.
(3.68)
Проверяем условие сходимости:
=0,76<1;
(3.69)
=0,0025<1.
(3.70)
Условие сходимости выполняется.
Алгоритм, реализующий метод итерации, представлен на рис. 3.13.