6. Детерминированные и стохастические
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Все
рассмотренные выше математические
модели относятся к классу
детерминированных
и
описывают процессы в детерминированных
системах.
Детерминированные системы характеризуются однозначным соответствием (соотношением) между входными и выходными сигналами (процессами).
Если задан входной сигнал такой системы, известны ее характеристика y = F(x), а также ее состояние в начальный момент времени, то значение сигнала на выходе системы в любой момент времени определяется однозначно (рис. 6.1).
Существует два подхода к исследованию физических систем: детерминированный и стохастический.
Детерминированный подход основан на применении детерминированной математической модели физической системы.
Стохастический подход подразумевает использование стохастической математической модели физической системы.
Перечислим внутренние и внешние случайные факторы:
внутренние факторы −
1) температурная и временная нестабильность электронных компонентов;
2) нестабильность питающего напряжения;
3) шум квантования в цифровых системах;
4) шумы в полупроводниковых приборах в результате неравномерности процессов генерации и рекомбинации основных носителей заряда;
5) тепловой шум в проводниках за счет теплового хаотического движения носителей заряда;
6) дробовой шум в полупроводниках, обусловленный случайным характером процесса преодоления носителями потенциального барьера;
7) фликкер – шум, обусловленный медленными случайными флуктуациями физико-химического состояния отдельных областей материалов электронных устройств и т. д.;
внешние –
1) внешние электрические и магнитные поля;
2) электромагнитные бури;
3) помехи, связанные с работой промышленности и транспорта;
4) вибрации;
5) влияние космических лучей, тепловое излучение окружающих объектов;
6) колебания температуры, давления, влажности воздуха;
7) запыленность воздуха и т. д.
Влияние (наличие) случайных факторов приводит к одной из ситуаций, приведенных на рис. 6.2:
С
ледовательно,
предположение о детерминированном
характере физической системы и описание
ее детерминированной математической
моделью является идеализацией
реальной системы.
Фактически
имеем ситуацию, изображенную на рис.
6.3.
Детерминированная модель допустима в следующих случаях:
1) влияние случайных факторов столь незначительно, что пренебрежение ими не приведет к ощутимому искажению результатов моделирования.
2) детерминированная математическая модель отображает реальные физические процессы в усредненном смысле.
В тех задачах, где не требуется высокой точности результатов моделирования, предпочтение отдается детерминированной модели. Это объясняется тем, что реализация и анализ детерминированной математической модели много проще, чем стохастической.
Детерминированная модель недопустима в следующих ситуациях: случайные процессы ω(t) соизмеримы с детерминированными x(t). Результаты, полученные с помощью детерминированной математической модели, будут неадекватными реальным процессам. Это относится к системам радиолокации, к системам наведения и управления летательными аппаратами, к системам связи, телевидению, к системам навигации, к любым системам, работающим со слабыми сигналами, в электронных устройствах контроля, в прецизионных измерительных устройствах и т. д.
В математическом моделировании случайный процесс часто рассматривают как случайную функцию времени, мгновенные значения которой являются случайными величинами.
Стохастическая математическая модель устанавливает вероятностные соотношения между входом и выходом системы. Такая модель позволяет сделать статистические выводы о некоторых вероятностных характеристиках исследуемого процесса y(t):
1) математическое ожидание (среднее значение):
(6.1)
2) дисперсия (мера рассеивания значений случайного процесса y(t) относительно его среднего значения):
(6.2)
3) среднее квадратичное отклонение:
(6.3)
4) корреляционная функция (характеризует степень зависимости – корреляции – между значениями процесса y(t), отстоящими друг от друга на время τ):
(6.4)
5) спектральная плотность случайного процесса y(t):
(6.5)
преобразование Фурье.
Стохастическая математическая модель формируется на основе стохастического дифференциального либо стохастического разностного уравнения.
Различают три типа стохастических дифференциальных уравнений: со случайными параметрами, со случайными начальными условиями, со случайным входным процессом (случайной правой частью). Приведем пример стохастического дифференциального уравнения третьего типа:
,
(6.6)
где
– аддитивный
случайный процесс – входной шум.
В нелинейных системах присутствуют мультипликативные шумы [x(t)·μ(t)].
Анализ стохастических моделей требует использования довольно сложного математического аппарата, особенно для нелинейных систем.
При разработке стохастической модели важное значение имеет определение характера случайного процесса . Случайный процесс может быть описан набором (последовательностью) функций распределения – одномерной, двумерной, … , n-мерной или соответствующими плотностями распределения вероятности. В большинстве практических задач ограничиваются определением одномерного и двумерного законов распределения.
В некоторых задачах характер распределения априорно известен.
В большинстве случаев, когда случайный процесс представляет собой результат воздействия на физическую систему совокупности значительного числа независимых случайных факторов, полагают, что обладает свойствами нормального (гауссовского) закона распределения. В этом случае говорят, что случайный процесс заменяется его типовой моделью – гауссовским случайным процессом. Одномерная плотность распределения вероятности нормального (гауссовского) случайного процесса приведена на рис. 6.4.
Н
ормальное
(гауссовское) распределение случайного
процесса
обладает следующими свойствами.
1. Значительное количество случайных процессов в природе подчиняются нормальному (гауссовскому) закону распределения.
2. Возможность достаточно строго определить (доказать) нормальный характер случайного процесса.
3. При воздействии на физическую систему совокупности случайных факторов с различными законами распределения их суммарный эффект подчиняется нормальному закону распределения (центральная предельная теорема).
4. При прохождении через линейную систему нормальный процесс сохраняет свои свойства в отличие от других случайных процессов.
5. Гауссовский случайный процесс может быть полностью описан с помощью двух характеристик – математического ожидания и дисперсии.
При формировании непрерывных стохастических моделей используется понятие «случайный процесс». Разработчики разностных стохастических моделей оперируют понятием «случайная последовательность».
Особую роль в теории стохастического моделирования играют марковские случайные последовательности. Для них справедливо следующее соотношение для условной плотности вероятности:
.
(6.7)
Из
него следует, что вероятностный закон,
описывающий поведение процесса в
момент времени
,
зависит только от предыдущего состояния
процесса в момент времени
и абсолютно не зависит от его поведения
в прошлом (т. е. в моменты времени
).
Перечисленные выше внутренние и внешние случайные факторы (шумы) представляют собой случайные процессы различных классов. Другими примерами случайных процессов являются турбулентные течения жидкостей и газов, изменение нагрузки энергосистемы, питающей большое количество потребителей, распространение радиоволн при наличии случайных замираний радиосигналов, изменение координат частицы в броуновском движении, процессы отказов аппаратуры, поступления заявок на обслуживание, распределение числа частиц в малом объеме коллоидного раствора, задающее воздействие в радиолокационных следящих системах, процесс термоэлектронной эмиссии с поверхности металла и т. д.