5. Математические модели для систем
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Математические модели для систем с распределенными параметрами формируются на основе дифференциальных уравнений с частными производными. Физические процессы в таких системах являются не только функциями времени, но и функциями пространственных координат.
П
р и м е р 25.
Моделируемый
объект – двухпроводная линия. Схема
замещения линии с потерями представлена
на рис. 5.1, где
x
–
пространственная
координата;
из-за утечки тока через изоляцию между
проводами.
Линия характеризуется параметрами, задаваемыми на единицу длины:
R0, L0 – продольные активное сопротивление и индуктивность;
G0, C0 – поперечные проводимость и емкость – параметры изоляции между проводами.
Математическая модель в общем случае имеет вид:
−
(5.1)
э
то
система двух дифференциальных
уравнений в частных производных, где
u
= u(t,x)
и i
= i(t,x).
В результате решения модели (5.1) определяются процессы u=u(t,x) и i=i(t,x), т. е. напряжение и ток как функции времени t и пространственной координаты x.
П р и м е р 26. Уравнение теплопроводности – математическая модель, описывающая процесс распространения тепла.
Рассмотрим простейший вариант.
Тонкий
однородный стержень
(рис. 5.2),
длиной l,
изолированный в тепловом отношении от
окружающей среды. На концах стержня
поддерживается некоторая температура
– постоянная или меняющаяся во времени
по какому-либо заданному закону.
Требуется определить закон распределения температуры T в любой точке стержня x в любой момент времени t.
Применим математическую модель вида:
,
(5.2)
где a − коэффициент температуропроводности, опреде-ляемый как
,
(5.3)
где
− коэффициент теплопроводности;
− удельная
теплоемкость;
ρ − плотность материала стержня.
Чтобы решить уравнение (5.2) в частных производных, необходимо задать начальные условия:
,
(5.4)
где
−
начальное распределение температуры
в стержне, при t=0,
и граничные условия:
T(0,t)=α(t) (5.5)
и
T(1,t)=β(t), (5.6)
где α (t) и β (t) − закон изменения температуры в левом и правом концах стержня.
Тогда
решение уравнения T(x,t)
будет функцией двух переменных –
пространственной координаты x
и времени t
(рис. 5.3).
Если внутри стержня имеются источники тепла или поглотители тепла, то математическая модель усложняется:
,
(5.7)
где
− объемная плотность теплового
источника.
Математическая модель, описывающая процесс передачи тепла в однородной среде, представляет собой трехмерное уравнение теплопроводности:
(5.8)
Решением уравнения (5.8) будет функция T(x,y,z,t), позволяющая определить температуру T в любой точке среды с координатами (x,y,z) в любой момент времени t.
Эта модель позволяет найти закон распределения тепла внутри заданного твердого тела, ограниченного поверхностью S, для чего задаются начальные условия:
T(x,y,z,0)
=
(5.9)
где
− начальное
распределение температуры внутри
тела при t = 0,
и граничные условия:
T(x,y,z,t)на S = f(x,y,z,t), (5.10)
где f(x,y,z,t) − функция, определяющая распределение температуры во всех точках на поверхности S в любой момент времени t.
Модель (5.8) описывает и ряд других процессов различной физической природы: диффузию одного вещества в другое, проникновение магнитного поля в плазму, поведение нейтронов в ядерном реакторе и т. д.
Математическое моделирование процесса движения сжимаемого газа, распространения возмущений электромагнитных полей, исследование колебаний приводит к так называемому волновому уравнению:
(5.11)
где a – скорость распространения возмущений.
Таким образом, волновое уравнение описывает процесс распространения возмущений в некоторой среде.