8.4. Формирование математической модели в пространстве состояний по передаточной функции системы

В подразд. 8.3 были представлены способы формирования двух вариантов математической модели в пространстве состояний.

Рассмотрим прием формирования третьего варианта модели в пространстве состояний по известной передаточной функции исследуемой физической системы.

Пусть для линейной непрерывной стационарной системы известна (определена) передаточная функция

(8.41)

Определим полюсы передаточной функции , которые являются корнями полинома знаменателя

(8.42)

Степень полинома соответствует порядку формируемой модели в пространстве состояний и, следовательно, количеству переменных состояния .

Тогда уравнения состояния данной системы можно представить в виде:

(8.43)

или в векторно-матричной форме при X(t₀) = X₀:

(8.44)

где

8.5. Пример формирования математической модели в пространстве состояний для исследования процессов в электрической цепи

В электрических цепях в качестве переменных состояния принято рассматривать мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности. Это обусловлено тем, что мгновенные значения напряжений на емкостях и токов через индуктивности удовлетворяют следующим требованиям:

− полностью определяют состояние цепи в любой момент времени;

− являются линейно-независимыми;

− однозначно определяют запас энергии в цепи;

− по ним могут быть определены любые другие токи и напряжения.

Правило 1. Количество переменных состояния системы равно количеству реактивных элементов в цепи.

Правило 2. Токи тех ветвей цепи, которые не содержат реактивных элементов, не должны входить в систему уравнений состояния, их следует исключать.

П ример 28. Рассмотрим электрическую цепь третьего порядка (рис. 8.3). В качестве переменных состояния примем:

^(8.45)

Следовательно, вектор состояния

(8.46)

Согласно законам Кирхгофа

^(8.47)

Исключим все неизвестные, не являющиеся переменными состояния. Для этого ток i₂ выразим через :

(8.48)

и сделаем подстановку выражения (8.48) в систему (8.47):

^(8.49)

Приведем систему уравнений (8.49) к форме Коши (к нормальной форме). Уравнения запишем в порядке, соответствующем индексу переменных состояния:

^(8.50)

или в векторно-матричной форме при заданных начальных условиях

(8.51)

где

^{u(t) = e;}

Уравнение (8.51) решается любым численным методом.

В большинстве задач невозможно получить сразу готовую систему уравнений состояния, так как в каждом уравнении присутствуют производные нескольких переменных состояния и обычным путем они не разделяются. В таких задачах предлагается поступить следующим образом. Производные переменных состояния принимают за искомые величины x₁, x₂, x₃, ... , x_n. Остальные члены уравнений принимают за свободные члены. В результате исходная система решается как обычная система линейных алгебраических уравнений соответствующим методом решения СЛАУ.