7.3. Передаточная функция в операторной форме

Передаточная функция в операторной форме получается формальным путем из дифференциального уравнения.

Пусть физическая система описывается линейной математической моделью вида:

a₂y′′(t) + a₁y′(t) + a₀y(t) = b₁x′(t) + b₀x(t). (7.22)

Введем оператор , обозначающий операцию дифференцирования. Сделаем подстановку его в дифференциальное уравнение (7.21):

a₂p²y(t) + a₁py(t) + a₀y(t) = b₁px(t) + b₀x(t) (7.23)

или

(a₂p² + a₁p + a₀)y(t) = (b₁p + b₀)x(t). (7.24)

Введем понятие операторов:

A(p)=a₂p²+a₁p+a₀, (7.25)

B(p)=b₁p+b₀. (7.26)

Сделаем подстановку выражений (7.24) и (7.25) в уравнение (7.23):

A(p)y(t)=B(p)x(t) – (7.27)

это запись дифференциального уравнения (7.21) в операторной форме.

Передаточная функция в операторной форме

(7.28)

Тогда дифференциальное уравнение (7.21) можно записать в виде:

y(t) = W(p)x(t). (7.29)

Передаточные функции W(s) и W(p) могут служить достоверным математическим описанием физической системы только при нулевых начальных условиях.

Для стационарных систем передаточные функции в форме изображения Лапласа W(s) и в операторной форме W(p) совпадают. На этом основании при рассмотрении линейных стационарных систем будем оперировать обобщенным термином «передаточная функция W(p)», полагая, что p – комплексная переменная.

Значение переменной p, при котором функция W(p) обращается в нуль, называется нулем передаточной функции. Значение p, при котором функция W(p) обращается в бесконечность, называется полюсом передаточной функции.

Если приравнять к нулю полином числителя передаточной функции W(p):

, (7.30)

то корни уравнения (7.30) будут являться нулями W(p).

Если приравнять к нулю полином знаменателя передаточной функции системы W(p):

, (7.31)

то корни уравнения (7.31) будут являться полюсами W(p).

По расположению нулей и полюсов на комплексной плоскости делают вывод о свойствах исследуемой системы.

Передаточная функция является самой компактной математической моделью, описывающей динамические свойства системы, и дает исчерпывающую характеристику взаимосвязи – «вход – выход».

7.4. Элементарные типовые звенья физических систем

Исследуемая физическая система может быть представлена в виде совокупности элементарных типовых звеньев. Этот прием лежит в основе разработки и анализа автоматических систем.

Элементарные типовые звенья могут рассматриваться в качестве моделей реальных функциональных элементов различной физической природы, разных принципов действия и конструктивного выполнения, но имеющих сходное математическое описание взаимосвязи «вход –выход».

Рассмотрим некоторые элементарные типовые звенья.

П ропорциональное (усилительное) звено. Передаточная функция W(p) = k.

Уравнение, связывающее мгновенные значения входной и выходной величин: y(t) = kx(t). Реакция звена y(t) на единичное ступенчатое воздействие x(t) показана на рис. 7.3.

П римеры функциональных элементов, моделируемых пропорцио-нальным (усилительным) звеном: электронный усилитель, работающий на линейном участке характеристики в режиме малого сигнала (рис. 7.4), редуктор (рис. 7.5).

Инерционное (апериодическое) звено. Передаточная функция где k – передаточный коэффициент; Т – постоянная времени, характеризующая инерционные свойства звена.

Реакция звена на единичное ступенчатое воздействие показана на рис. 7.6.

Примеры функциональных элементов, моделируемых инерционным (апериодическим) звеном: электрический пассивный четырехполюсник (рис. 7.7), электрическая цепь (рис. 7.8), электрический генератор постоянного тока (рис. 7.9).

Идеальное дифференцирующее звено. Передаточная функция W(p) = kp. Рис. 7.10 демонстрирует реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие.

П ример функционального элемента, моделируемого идеальным дифференцирующим звеном – электрический тахогенератор, у которого в качестве входной переменной x(t) принимается угол поворота φ его вала (рис. 7.11).

И нтегрирующее звено. Передаточная функция .

Рис. 7.12 демонстрирует реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие.

Интегрирующие свойства присущи таким объектам, в которых происходит накопление вещества или энергии без ее одновременной о тдачи в окружающую среду.

Примеры функциональных элементов, моделируемых интегрирующим звеном: конденсатор (рис. 7.13), резервуар с жидкостью (рис. 7.14), гидравлический механизм (рис. 7.15).

Апериодическое звено 2-го порядка (инерционное). Передаточная функция

. (7.32)

Р ис. 7.16 демонстрирует реакцию звена на единичное ступенчатое воздействие. При апериодическое звено превращается в колебательное.

П римеры функциональных элементов, моделируемых апериодическим (инерционным) звеном: колебательный контур (рис. 7.17), электрический двигатель постоянного тока с независимым возбуждением (рис. 7.18), механическая система (рис. 7.19).

Ф изическая система, которая может быть представлена как совокупность элементарных типовых звеньев, графически изображается в виде структурной схемы.

Для того чтобы определить передаточную функцию исследуемой физической системы, следует преобразовать ее структурную схему по специальным правилам и законам.

Математическая модель в фор-ме передаточной функции с помощью известных приемов может быть преобразована в модель в виде дифференциального уравнения n-го порядка.

М атематический аппарат передаточных функций широко применяется на этапе проектирования магнитных и полупроводниковых элементов автоматики для систем автоматического управления и контроля.

Пример 27. При исследовании тепловых режимов проектируемых устройств используется тепловая модель, представленная на рис. 7.20.

Математическая модель в форме передаточной функции легко преобразуется в математическую модель в частотной области – амплитудно-частотную и фазочастотную функции.