7. Математические модели в форме

ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Математические модели в форме передаточных функций получили наибольшее применение для описания физических процессов в линейных стационарных системах.

7.1. Базовые понятия

Базовым понятием в теории передаточных функций является преобразование Лапласа:

(7.1)

которое устанавливает соответствие между функцией x(t) – вещественной переменной t и функцией X(s) – комплексной переменной s:

s = σ + jω, (7.2)

где x(t) – оригинал;

X(s) – изображение (изображение по Лапласу).

Это соответствие обозначается так:

X(s) (7.3)

или (7.4)

Основные свойства преобразования Лапласа:

1) линейность:

(7.5)

2) дифференцирование:

при нулевых начальных условиях –

x(0) = x′(0) = x″(0) = … = x^(n-1) (0) = 0 (7.6)

справедливо:

(7.7)

3) интегрирование:

(7.8)

4) теорема запаздывания:

(7.9)

5) теорема о свертке:

(7.10)

где , ^{– свертка функций x}₁^{(t) и x}₂^(t) (интеграл свертывания).

7.2. Передаточная функция в форме изображений Лапласа

Пусть физическая система (см. рис. 4.1) описывается математической моделью в форме линейного дифференциального уравнения

a₂y″(t)+a₁y′(t)+a₀y(t) = b₁x′(t)+b₀x(t) (7.11)

при нулевых начальных условиях:

y(0) = y′(0) = 0.

Применим преобразование Лапласа:

(7.12)

Используя свойства линейности и дифференцирования оригинала, получим:

(7.13)

или

. (7.14)

Выразим отношение изображения выходной величины Y(s) системы к изображению входной величины X(s):

(7.15)

где ^– передаточная функция системы в форме изображений Лапласа.

Рассмотрим физическую систему с двумя входами (рис. 7.1).

Е сли физическая система имеет несколько входов, то она может быть описана несколькими передаточными функциями по каждому входу.

При определении передаточной функции относительно одной из входных величин остальные входные величины полагаются равными нулю.

Пусть физическая система описывается математической моделью вида:

a₃y′′′(t)+a₁y′(t)+a₀y(t)= b₂x′′(t)+b₀x(t)+c₀f(t) (7.16)

при нулевых начальных условиях.

Перейдем к изображениям Лапласа:

(7.17)

Положим F(s) = 0, тогда передаточная функция относительно входа x(t)

(7.18)

Положим X(s) = 0, тогда передаточная функция относительно входа f(t)

(7.19)

Для линейной физической системы с несколькими входами и выходами (рис. 7.2) передаточная функция превращается в матричную передаточную функцию:

(7.20)

где

^– (7.21)

передаточная функция между i-м входом и j-м выходом.