Закон термоелектронної емісії Річардсона-Дешмана
Цей закон встановлює зв’язок між струмом термоелектронної емісії, температурою металу та роботою виходу.
Нехай
вісь
– нормаль до поверхні зразка, тоді
зразок можуть покинути лише ті електрони,
які мають компоненту швидкості
вздовж цього напряму, достатню для
виходу електронів у вакуум. Як видно з
рис.1в, ці електрони повинні мати кінетичну
енергію більшу, ніж висота потенціального
бар’єру метал-вакуум
.
(3)
Тільки
такі електрони грають роль при обчисленні
струму насичення вакуумного діода.
Наявність струму насичення має вельми
просте пояснення. Його величина
визначається кількістю термоелектронів,
яка може “випаруватися” з поверхні
катоду за одиницю часу. Якщо електричне
поле настільки сильне, що відводить усі
електрони, які випаровуються з поверхні
катоду, то подальше збільшення напруженості
поля вже не може привести до збільшення
термоелектронного струму. З цим і
пов’язане явище насичення струму.
Густина термоелектронного струму
насичення
визначає емісійну здатність матеріалу
катода, тобто максимальну кількість
електронів яку може емітувати катод з
одиниці поверхні за одиницю часу.
Густина термоелектронного струму насичення залежить від матеріалу катода і збільшується зі збільшенням температури останнього. При обчисленні цієї густини будемо користуватися моделлю ідеального електронного газу і використаємо квантову статистику Фермі-Дірака.
Очевидно,
що середня концентрація електронів з
імпульсами в інтервалі від
до
,
від
до
і від
до
визначається добутком числа станів в
імпульсному просторі
(двійка враховує дві орієнтації спіна)
на функцію розподілу, тобто
,
(4)
де
.
Щоб
при емісії електронів кристалічна
гратка не руйнувалася, з металу повинна
виходити незначна частина електронів.
Для цього, як показують формули (1) і (4),
повинна виконуватися умова
.
Це видно і з рис.1в, де „заштриховані”
термоелектрони, що знаходяться на
експоненціальній ділянці функції
розподілу. Для цих електронів у знаменнику
формули (4) одиницею можна знехтувати
.
(5)
Знайдемо
частку електронів
,
–складова
імпульсу яких знаходиться між
та
.
Для цього попередній вираз потрібно
проінтегрувати по
та
у межах від
до
.
Оскільки
,
то в результаті інтегрування отримаємо
.
(6)
Вихід з металу електронів при термоелектронній емісії, звичайно, дещо порушує рівноважний розподіл їх за швидкостями. Але в нульовому наближенні цією обставиною можна знехтувати, як і робиться в подальшому. Число електронів виділеної групи, що падають за одиницю часу на одиницю площі поверхні металу, визначається інтегралом
(згадайте як визначається потік частинок на стінку), де інтегрування ведеться по всіх електронах, для яких
.
Нехай усі ці електрони виходять із металу. Тоді густина термоелектронного струму насичення знайдеться множенням попереднього інтегралу на заряд електрона .
,
(7)
де
визначається зі співвідношення
.
Тоді
.
(8)
В результаті інтегрування отримаємо
,
(9)
або
,
де
стала
називається сталою Зоммерфельда і
визначається виразом
,
тобто однакова для всіх металів. Така однаковість пов’язана з використанням моделі ідеального електронного газу.
Електронна теорія металів, яка тут використовувалась, не враховує періодичності електричного поля, яке створюється всередині металу іонами його кристалічної гратки, і вважає потенціал всередині металу сталим. Таке наближення виявляється достатнім для розв’язку задачі про термоемісію і не приводить до результатів, які суперечать досліду, за виключенням того, що на практиці стала Зоммерфельда виявляється різною для різних металів.
Вимірюючи густину струму насичення , можна за формулою (9) обчислити як сталу , так і роботу виходу .