Температурна залежність опору металів

Як показує експеримент, в металах концентрація електронів від температури практично не залежить. Електропровідність при кімнатній температурі обумовлена передусім часом релаксації , тобто середнім часом між зіткненнями електронів провідності з іонами у вузлах кристалічної гратки металу, а при температурах, що наближаються до абсолютного нуля – із домішковими атомами та механічними дефектами гратки.

В металі валентна зона заповнена електронами повністю, а зона провідності – частково (рис.2а). Зовнішнє електростатичне поле може діяти на електрони, розташовані поблизу рівня Фермі , які, набувши енергії, можуть перейти на розташовані вище вільні енергетичні рівні. Тому електропровідність металів визначається електронами з енергією та швидкістю .

Вираз для часу релаксації можна записати у вигляді

,

де середня довжина вільного пробігу, тобто середній шлях між двома послідовними актами розсіювання електрона, середня кількість зіткнень, яка забезпечує встановлення рівноваги, транспортна довжина вільного пробігу, середній шлях, який проходить електрон за час релаксації.

Оскільки не залежить від температури, температурну залежність провідності визначає (або ). За кінетичною теорією , отже за формулами (3) , , і остаточно .

Залежність питомого опору від температури характеризують температурним коефіцієнтом опору даної речовини

,

який являє собою відносну зміну питомого опору при зміні температури на 1 градус.

У загальному випадку температурний коефіцієнт опору залежить від температури. Однак для великого класу провідників, до якого належать всі метали, зміна з температурою не дуже велика. Якщо температурний коефіцієнт опору майже сталий, можна визначити за ним опір провідника при різних температурах.

Якщо температурний коефіцієнт опору не залежить від температури , проінтегрувавши рівняння

,

одержимо

.

Нехай при температурі плавлення льоду питомий опір , тоді

,

і температурна залежність питомого опору набуває вигляду

,

де температура, визначена за шкалою Цельсія.

Якщо припустити, що температурний інтервал настільки малий, що , то можна записати

.

Тоді маємо залежність питомого опору від температури

. (4)

Оскільки експериментально вимірюється опір провідника, а для однорідного провідника сталого перерізу

,

де довжина провідника, площа його поперечного перерізу, формула (4) набуває вигляду

, (5)

де опір провідника при температурі плавлення льоду (0С).

Електропровідність напівпровідників

На відміну від металів, у напівпровідниках зі зміною температури істотно змінюється концентрація носіїв заряду. Це обумовлено особливостями зонної структури напівпровідника (рис.2в,г).

При дослідженні електропровідності власного напівпровідника необхідно обчислити концентрацію власних носіїв заряду ( – електронів у зоні провідності або – дірок у валентній зоні). Це можна зробити, знаючи щільність станів, які припадають на одиничний інтервал енергії, на яких можуть знаходитися носії заряду, і імовірність їх захоплення на ці стани. Щільність станів у зоні провідності і щільність станів у валентній зоні визначаються відповідно формулами

, , (6)

де ефективна маса електрона в зоні провідності, ефективна маса дірки у валентній зоні, енергія електрона (дірки).

Ефективна маса враховує дію на електрон (дірку) періодичного поля іонів кристалічної гратки. Електрон під дією зовнішньої сили у періодичному полі кристалу рухається у середньому так само, як би рухався вільний електрон з масою . Приписавши електрону таку масу, ми можемо розглядати його як вільний. Ефективна маса може бути як додатньою, так і від’ємною, а також бути як набагато більшою, так і набагато меншою за масу вільного електрона.

Імовірність перебування електрона (дірки) в одному із станів задається функцією розподілу Фермі-Дірака, відповідно для електронів і дірок

, . (7)

Нас цікавлять електрони з енергією , яка відраховується від дна зони провідності вгору. Для них при кімнатних температурах

, (8)

оскільки еВ, а рівень Фермі лежить посередині забороненої зони (рис.2в), яка у напівпровідниках становить 1 еВ, отже 0,5 еВ.

Аналогічна умова буде виконуватися і для дірок. Необхідно тільки врахувати, що енергія дірки відраховується від стелі валентної зони донизу. Тоді

. (9)

З урахуванням умов (8) і (9) функції розподілу електронів і дірок (7) набувають вигляду

, . (10)

Якщо кількість можливих станів є набагато більшою за кількість електронів, рух кожного електрону є незалежним від інших і сукупність електронів можна розглядати як електронний газ, застосовуючи до нього закони ідеального газу. Такий електронний газ називається невиродженим.

Отже, електронний газ у власному напівпровіднику є невиродженим. У цьому випадку він описується класичною статистикою Максвелла-Больцмана. Концентрації електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні пропорційні кількості вільних станів та імовірності їх заповнення, отже визначаються відповідно виразами

, . (11)

Інтегрування рівнянь (11) з урахуванням (6) та (10) дає остаточно концентрації електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні

, , (12)

де та – ефективні щільності станів електронів у зоні провідності та дірок у валентній зоні.

Оскільки у власних напівпровідниках концентрація електронів в зоні провідності дорівнює концентрації дірок у валентній зоні (1) із формул (1) та (12) можна отримати концентрацію носіїв заряду обох знаків у власному напівпровіднику

, (13)

враховуючи, що .