Поле Холла і стала Холла
Рівняння руху електрона за наявності електричного і магнітного полів з урахуванням затухання внаслідок зіткнень за теорією Друде має вигляд другого закону Ньютона
,
(3)
де
–
імпульс електрону;
–
аналог сили тертя, пропорційної швидкості
руху електрону і напрямленої проти неї,
– час релаксації, або час вільного
пробігу носіїв заряду, і являє собою
середній час між двома послідовними
зіткненнями. Варто мати на увазі, що
сила Лоренца не є однаковою для всіх
електронів, оскільки вона залежить від
швидкості електрону
.
Тому силу Лоренца у рівнянні (3) потрібно
вважати середньою силою у розрахунку
на один електрон.
У стаціонарному стані сила струму не залежить від часу, тому проекції рівняння (5) на координатні осі мають вигляд
;
,
(4)
де
циклотронна
частота, а компонента струму вздовж осі
дорівнює нулю.
Помноживши
рівняння (4) на
і
ввівши компоненти густини струму,
знаходимо
; 
.
(5)
Напруженість
поля Холла
визначається
з вимоги рівності нулю густини поперечного
струму
,
пов’язаного із дрейфом носіїв заряду.
Покладаючи у другому рівнянні системи
(5)
рівним нулю, одержуємо
.
(6)
Такий
результат можна було очікувати. Оскільки
поперечне поле
врівноважує силу Лоренца, воно повинно
бути пропорційним як індукції магнітного
поля
,
так і густині струму
у провіднику. Коефіцієнт пропорційності
в співвідношенні (8)
(7)
називається сталою Холла для даного матеріалу.
Більш точні обчислення, що враховують відмінність швидкостей окремих електронів від їх середнього значення, призводять лише до незначної зміни числового множника у формулі (7), а саме
.
(8)
Визначення електрофізичних параметрів провідних матеріалів
Стала
Холла і концентрація носіїв заряду.
Якщо товщина зразку
,
а ширина –
(рис.2),
то холллівска різниця потенціалів
(ерс), виміряна на контактах 2-2,
,
(9)
де
сила
струму, який протікає у зразку. Величини
та
можуть бути виміряні на експерименті,
отже за формулою (9) можна визначити
значення сталої Холла, а отже, і
концентрацію носіїв заряду (7) у зразку.
Р
ис.2.
Розташування контактів у досліджуваному
зразку
Знак
носіїв заряду.
З (7) і (8) можна бачити, що у випадку
електронної провідності
.
Якщо ж струм переноситься переважно
дірками, яким приписується позитивний
заряд, то е.р.с. Холла при цьому змінює
знак, і
.
Отже, визначаючи знак різниці потенціалів
Холла при обраних напрямках струму і
магнітного поля у зразку, можна визначити
знак носіїв заряду.
Якщо ж ні один із означених типів носіїв заряду не переважає, як це буває у домішкових напівпровідниках, то вираз для сталої Холла набуває вигляду
/
145
,
(10)
де
концентрація
дірок, а
.
Легко переконатись, що при
із (10) ми отримаємо (8).
Питомий
опір матеріалу.
Його можна визначити, якщо у випадку
омічних контактів при протіканні
постійного струму через зразок виміряти
–
спад напруги між зондами 1-1 (рис.2),
розташованими на торцях зразка на
відстані
один від одного. Тоді за законом Ома
та виразом для опору провідника правильної
форми
маємо
.
(11)
Рухливість носіїв заряду. Якщо разом із сталою Холла визначити питомий опір зразка чи електропровідність , то можна обчислити рухливість носіїв струму. У випадку носіїв заряду одного знака рухливість
.
(12)