Сравнение выборок и статистических параметров

Установление достоверности статистических характеристик является важной, но не окончательной задачей вариационного анализа. Часто возникает необходимость решить следующие задачи.

1. Найти интервалы (формула 46), в которых колеблется неизвестное нам среднее значение генеральной совокупности , используя среднее значение выборочной совокупности М и ошибку средней m. Значение будет находиться в интервале:

То есть среднее значение генеральной совокупности лежит в пределах двойной ошибки выборки.

2. Определить достоверность различия средних значений двух самостоятельных выборок. При одинаковом или близком наблюдений критерий существенности различия определяются по формуле:

где и – средние значения выборок, а m₁, m₂– их ошибки.

Если для 5% - ного уровня значимости фактическое значение t– критерия меньше 2, различие средних значений выборок считается несущественным, не доказанным.

Сравним средние диаметры изучаемого древостоя и древостоя 61 – летних культур сосны в типе леса С. яг в кв.28 Паркового участка Д_ср.=21,2 и Д_ср = 24,5 ± 0,27:

Фактическое значение t – критерия различия больше табличного (7,5 больше 2), следовательно, различие значений средних диаметров статистически достоверно.

Сравнение коэффициентоввариации двух выборочных совокупностей производят с использованием неравенства:

Где V₁ и V₂ коэффициенты вариациисравниваемых совокупностей, а + их ошибки, N объем меньшей из сравниваемых выборок.

Если левая часть неравенства больше правой части, то различие коэффициентов вариации статистически достоверно.

Сравнение показателей точности опыта производят по формуле:

где P₁и P₂ показатели точности опыта, а и их ошибки.

В формулах и в числители левой части неравенств из большего значения вычитается меньшее с целью исключения знака «минус».

3. Оценить соответствие между фактическим распределением выборочной совокупности и ожидаемым (гипотетическим, теоретическим) генеральной совокупности.

Распределение того или иного признака (показателя) может приближаться к какому-либо известному распределению, описываемому формулой (закон нормального распределения Лапласа-Гаусса, закон обобщенного нормального распределения Грама-Шарлье, распределение Пирсона, гамма-распределение, логнормальное распределение и т.д.).

Чаще всего распределения, не имеющие выраженных асимметрии и эксцесса, сравнивают (аппроксимируют) с кривой нормального распределения Лапласа-Гаусса. Сравнение заключается в оценке степени расхождения аппроксимируемой фактической кривой и теоретической кривой по одному из известных критериев, чаще по критерию ^2. . На этом установление закона изменчивости изучаемого признака считается законченным.

Предварительно рассчитываются теоретические частоты вариационного ряда (табл. 47), а затем критерий ²(табл. 48). Составляется график кривых фактического и теоретического распределений числа деревьев по диаметру.

Рассмотрим порядок расчета теоретических частот, выровненных с помощью таблицы f(x) (табл. 47). Это один из наиболее удобных способов для ручного счета.

Для вычисления выравнивающих частот необходимо рассчитать максимальное значение частоты нормального распределения, соответствующее среднему значению вариационного ряда, по формуле:

где: N – максимальная частота нормального распределения, k – размер класса (ступени толщины).

Дальнейшее вычисление производят табл. 47. По результатам вычисления суммы 4 столбца находят значение момента :

Вычитая значение из условных значений ступени толщины (стлб. 3), находят значение стлб. 6. В стлб. 7 выражают значение ( в физических единицах изучаемой величины (в сантиметрах), умножив значение стлб. 6 на размер класса (ступени толщины), равный 4; разделив полученные значения на =5,089, получают значение стлб. 8. Значения f(a)находят по форме 10 с применением интерполирования данных этой таблицы. Умножив значения f(x) на максимальную частоту 112,28, получают значении выровненных частот вариационного ряда. Сумма выровненных частот при нормальном распределении равна сумме фактических частот.

Наличие в примере соответствия выровненного по формуле Лапласа-Гаусса распределения фактическому можно было предполагать, так как при большом числе наблюдений показатели асимметрии и эксцесса статистически не достоверны ( при табличном значении, равном 2), следовательно, наличие асимметрии и эксцесса на уровне значимости 0,05 не доказано. Расчет критерия соответствия ². Пирсона подтверждает это предположение.

Таблица 47

Расчет теоретических (выравненных) частот ряда распределения деревьев по диаметру ствола

x	nф	Отклонение	(3) ∙ (2)	(4) ∙ (3)				Выровненные частоты nт
1	2	3	4	5	6	7	8	9
12	9	– 3	– 27	81	– 3,137	– 12,548	– 2,466	5
16	29	– 2	– 58	116	– 2,137	– 8,548	– 1,680	28
20	71	– 1	– 71	71	– 1,137	– 4,548	– 0,894	76
24	103	0	0	0	– 0,137	– 0,548	– 0,108	112
28	98	+1	+98	98	+0,863	+3,452	+0,678	89
32	43	+2	+86	172	+1,863	+7,452	+1,464	39
36	5	+3	+15	45	+2,863	+11,452	+2,250	9
–	358	–	– 156 +199 = +43	583	–	–	–	358

Переносят теоретические частоты n_тв табл. 48 и далее рассчитывают значение критерия ² (число степеней свободы равно числу классов минус 5). Если вычисленное значение ² меньше табличного (табл. 49), то эмпирическое распределение соответствует закону нормального распределения. В противоположном случае эмпирического распределение надо аппроксимировать другой кривой.

Таблица 48

^{Расчет критерия 2}

Значение признака x	Число наблюдений		nф – nт	(nфnт)2
	фактическое nф	теоретическоеnт
12	9	5	4	16	3,20
16	29	28	1	1	0,04
20	71	76	5	25	0,33
24	103	112	9	81	0,72
28	98	89	9	81	0,91
32	43	39	4	4	0,10
36	5	9	4	4	0,44
Итого	–	–	–	–	2 = 5,74

Таблица 49

Табличные значения ² на 5%-уровне значимости

Число степеней свободы	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Значения критерия 2	3,84	5,99	7,81	9,48	11,1	12,59	14,07	15,51	16,92	18,31	19,7	21,0

Примечание: при расчете значений n_ф– n_m знак упускается. В примере ²= 5,74. Фактическое распределение соответствует закону Лапласа-Гаусса, так как ²_факт. меньше ²_табл. (5,74 < 11,1)

Фактическое значение критерия ² меньше табличного, равного 9,49. Табличное значение критерия ²при числе степеней свободы, определяемом как разность числа разрядов минус 3 (в примере 7 – 3), равно:

Распределение соответствует закону Лапласа-Гаусса.

Обобщенное нормального распределение Грама-Шарлье типа А. Нормальное распределения Лапласа-Гаусса, как показано выше, имеет жесткие критерии, не учитывающие при выравнивании фактических распределений наличие у последних асимметрии и эксцесса. Этот недостаток исправляет обобщенное нормальное распределение Грама-Шарлье, рабочая формула которого имеет вид:

Первый член правой части этой формулы дает нормальное распределение, второй член отражает влияние асимметрии распределения, а третий – влияние эксцесса. Основной моментr₃ является коэффициентом асимметрии А, а выражение (r₄–3) – коэффициентом эксцесса Е. Формула (71) принимает вид: