5.5.9.3. Регрессионный анализ

Любая форма корреляционной связи в общем виде выражается формулой у = f(х), то есть зависимая переменная у является функцией от независимой переменной – аргумента х. Изменение функции при изменении одного (или нескольких) аргументов называется регрессией. Регрессия может быть выражена в виде таблицы, уравнения или графика.

Параметры регрессии выражают связь между величинами х и у двусторонне, то есть зависимость у от х и х от у. Исключение составляют временные ряды (ряды динамики), регрессия в которых является односторонней.

Задача исследований заключается в том, чтобы выразить зависимость функции у от аргумента (или аргументов) х формулой уравнения, что позволит предвидеть изменение у при изменении х.

Линейная регрессия

Она характеризует наиболее простой и распространенный тип зависимости, выраженный формулой

у = а·х + b, (92)

где а – размерный коэффициент, характеризующий скорость изменения функции у по мере изменения аргумента х, то есть

а = (у₂ – у₁) · (х₂ – х₁), b – значение у при х = 0.

Линейная связь может быть как положительной, так и отрицательной, когда соответственно коэффициент а > 0 и коэффициент корреляции r> 0 или а < 0 иr< 0 (рис. 55).

Используя полученные суммыи число классов 11, составляют систему нормальных уравнений:

11 b + 77 а = 54,1 (1)

77 b + 649 а = 421,9 (2)

Число при а₀ во втором уравнении делят на число при а₀ в первом уравнении: 77 11 = 7. Далее умножают на 7 все члены первого уравнения, получая 77а₀ + 539а₁ = 378,7 и вычитают его из второго уравнения:

_77b+ 649а = 421,9

77b+ 539 а = 378,7

110 а = 43,2

Рис. 55. Линейная регрессия (уравнение прямой):

а – угловой коэффициент, характеризующий скорость изменения «у» при изменении «х»;

б – значение «у» при «х» = 0;

r – коэффициент кореляции.

Для вычисления коэффициентов уравнения прямой связи заполняют табл.59 и 60, вычисление производят с использованием уравнений (1) и (2) с последующей оценкой достоверности полученного уравнения прямой связи коррелируемых признаков.

Таблица 59

Расчет показателей для вычисления уравнения связи диаметров (х) и высоты (у) ствола 19-летних культур сосны

Y(H) \ X(D)	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	n	х/у
7								1		1	1	3	24
6,5						1	2	3			1	7	51,71
6						1	3	3	2	2	2	13	101,84
5,5					3	1	2		1	1		8	52,37
5				1	2	5	1					9	52,88
4,5			1	1	1	3						6	18,5
4		1	1	2	1	1						6	24,16
3,5		1	2		1							4	12,5
3		3										3	3
2,5	4	1										5	8,6
2	1	1										2	3,5
n	5	7	4	4	8	12	8	7	3	4	4	66	–
y/x	2,4	3,0	3,9	4,4	4,8	5,0	5,9	6,4	5,8	6,1	6,4	–	–

Таблица 60

Расчет показателей для вычисления уравнения связи диаметров (х) и высоты (у) ствола 19-летних культур сосны

х	у	х2	у · х	у/	у/-y	(у/-y)2
12	6,4	144	76,8	6,9	0,5	0,25
11	6,1	121	67,1	6,5	0,4	0,16
10	5,8	100	58,0	6,1	0,3	0,09
9	6,4	81	57,6	5,7	-0,7	0,49
8	5,9	64	47,2	5,3	-0,6	0,36
7	5	49	35,0	4,9	-0,1	0,01
6	4,8	36	28,8	4,5	-0,3	0,09
5	4,4	25	22,0	4,1	-0,3	0,09
4	3,9	16	15,6	3,7	-0,2	0,04
3	3	9	9,0	3,3	0,3	0,09
2	2,4	4	4,8	3	0,6	0,36
77	54,1	649	421,9	54	-0,1	2,03

Находят значение а= = 0,393; значение bвычисляется, исходя из уравнения (1):

Уравнение регрессии принимает вид:

= b + ах = 2,167 + 0,393 х

Ошибку уравнения прямолинейной или криволинейной регрессии вычисляют по формуле:

где m_yx– ошибка уравнения регрессии,у – эмпирические значения функции,у^/ – теоретические значения функции,N – число точек эмпирической линии регрессии, n – число коэффициентов уравнения, включая свободный член.

Таким образом высоту деревьев можно вычислить по формуле у = 2,167 + 0,393 х с ошибкой ± 0,47 м. На основании рассчитанных частот (табл. 60) строят график прямолинейной регрессии (рис. 50).Точка пересеченния линий регрессии с осью ординат у = b= 2,167, и с осью абсцисс х = (b/а) = – (2,167/0,393) = – 5,514, округленно 2,2 и – 5,5.

Основным параметром прямолинейной регрессии является коэффициент а,поэтому рекомендуется оценить достоверность его отличия от нуля; степень достоверности коэффициента а₁ отражает наличие или отсутствие корреляционной связи между признаками. Оценка достоверности производится по t – критерию Стьюдента по формуле:

где t – величина критерия Стьюдента,

а – коэффициент при аргументе в уравнении прямой линии,

– стандартное отклонение ряда аргумента,

ошибка уравнения,

N – объем выборки (число классов).

Если табличная величина t-критерия меньше вычисленной, то связь между хи усуществует и значение а₁ достоверно. Табличное значение t-критерия на 5% уровне значимости (при числе степеней свободы у = N – 2 = 11 – 2 = 9) составляет 2,262. Оно значительно меньше вычисленного 7,48.

Выше рассмотрен порядок оценки тесноты парной прямолинейной и криволинейной связи с помощью коэффициента корреляции r, корреляционного отношения η и показателей силы связи (взаимообусловленности изменчивости, детерминации)r² иη², порядок вычисления уравнения прямолинейной регрессии у = а₀ + а₁х.

В природе распространены многофакторные связи и зависимости, аналитическим их выражением являются уравнения множественной регрессии. В нашем примере корреляционная связь оказалась сильной– коэффициент корреляции r = 0,88; 77% общей изменчивости высоты стволавызывается изменчивостьюдиаметра, а вся остальная изменчивость вызывается изменчивость других, не изученных факторов.

Задача исследователя заключается в установлении как можно большего числа таких факторов, степени их действия и взаимодействия на результативный признак – высоту ствола.

Для получения коэффициентов уравнения множественной регрессии, выражающего зависимость высоты стволаот двух факторов х иz(например, диаметра ствола и протженности кроны дерева) применяется уравнение вида:

y = b + ax + a₁z (95)

Предварительно рассчитывают определенные цифровые параметры для последующего составления системы нормальных уравнений и их решения. По уравнению двухфакторной регрессии вычисляют, во-первых, теоретические значения результативного признака (высоты ствола), во-вторых, ошибку уравнения регрессии и его статистическую достоверность (достоверность отличия коэффициентов а и а₁ от нуля).

При изучении комплекса взаимосвязанных признаков можно использовать способ троек признаков (наиболее простой среди других способов). Его применяют для изучения взаимосвязи комплекса признаков во всех возможных их сочетаниях по три. При этом исключаются многие побочные эффекты взаимодействия. Этот способ позволяет проводить исследования в рамках известного нам трехмерного пространства.