5.1. Биномиальное распределение

 

Говорят, что дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, если её возмож­ные значения: 0,1, …, m, …, n, а соответствующие вероятности:

                   P_m=P{X=m}= ,                                                                   (5.1.1)

где              0<p<1;             q=1-p;             m=0,1,…,n.

Распределение (5.1.1) зависит от двух параметров n и р.

На практике биномиальное распределение возникает при следующих условиях. Пусть производится n независимых опытов (напомним, что опыты называются независимыми, если вероятность какого-либо исхода каж­дого из них не зависит от того, какие исходы имели другие опыты), в каждом из которых событие А (условно можно его назвать «успехом» опыта) появляется с вероятностью р; случайная величина Х – число «успехов» при n опытах.

Покажем, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение. Действительно, событие В={X=m} распадается на ряд вариантов, в каждом из которых «успех» достигается в m опытах, а «неус­пех» (событие ) в n-m опытах. Обозначая «успех» знаком +, а «неуспех» знаком -, запишем один из таких вариантов:

По правилу умножения вероятностей   P(B₁)=p^m(1-p)^n-m или, обозначая q=1-p,  P(B₁)=p^mq^n-m.

Очевидно, точно такую же вероятность будет иметь любой вариант, в котором m «успехов» и (n-m) «неуспехов»

Подсчитаем число таких вариантов. Оно равно , т.е. числу способов, какими можно из n опытов выбрать m «успешных». Отсюда, по правилу сложения вероятностей, складывая вероятности всех  вариантов со­бытия B={X=m}, получим

                   P_m=P{X=m}= pⁿq^n-m,

т.е. случайная величина Х имеет биномиальное распределение. В частности,

                   P₀=P{X=0}=P =qⁿ,

что также вытекает из формулы (5.1.1), учитывая, что = =1.

Равным образом формула (5.1.1) справедлива и для m=n:    .

На практике часто приходится вычислять вероятности «не менее m успехов в n опытах»; будем их обозначать R_m:

R_m=P{Xm}=P{X=m}+P{X=m+1}+…+P(X=n}

или             .                                                                           (5.1.2)

Иногда бывает удобнее вычислять R_m через вероятность противоположного события:

                   R_m= P{Xm}=1-P{X<m},

т.е.              .                                                                     (5.1.3)

Какой из формул (5.1.2), (5.1.3) пользоваться, зависит от того, в какой из них сумма содержит меньше членов.

Найдем важнейшие числовые характеристики случайной величины Х, распределенной по биноми­альному закону. Для этого напишем её производящую функцию:

                   ;                                               (5.1.4)

но мы знаем, что именно так выглядит n-я степень бинома

                   (z)=(q+pz)ⁿ                                                                                                           (5.1.5)

(отсюда и термин «биномиальное распределение»).

Пользуясь производящей функцией, найдем числовые характеристики случайной величины Х: мате­матическое ожидание и дисперсию. Дифференцируя (5.1.5) по z, имеем:

                   ’(z)=n(q+pz)^n-1p.

Полагая здесь z=1, получим

                   ’(1)= n(q+p)^n-1p= n1^n-1p=np.

Итак, математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n и p, равно

                   m_x=np.                                                                                                 (5.1.6)

Заметим, что получить этот результат непосредственно из ряда распределения без производящей функции было бы несравненно труднее.

Аналогично находим второй начальный момент по формуле (2.37) (₂[X]=₂=(1)+(1) ):

                   ₂=”(1)+m_x.

Имеем        ”(z)=n(n-1)(q+pz)^n-2p²;           ”(1)=n(n-1)p².

Второй начальный момент

                   ₂=”(1)+m_x=n(n-1)p²+np.                                                               (5.1.7)

Дисперсию случайной величины Х найдем, вычитая из (5.1.7) :

                   D_x=n(n-1)p²+np-n²p²=n²p²-np²+np-n²p²=np-np²=npq.

Таким образом, дисперсия случайной величины Х, имеющей биномиальное распределение с пара­метрами n, p, равна

                   D_x=npq            (q=1-p).                                                                        (5.1.8)

Извлекая, квадратный корень из дисперсии, получим среднее квадратическое отклонение:

                   _x= .                                                                               (5.1.9)

Итак, для случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону с параметрами n, p,

            m_x=np,             D_x=npq,                       .                                (5.1.10)

Эти выражения полезно запомнить.

Пример 1. Передается n=5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью р=0,3 не­зависимо от других искажается. Случайная величина Х – число искаженных сообщений. Построить её ряд распределения. Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне­ние непосредственно по ряду распределения и сравнить с теми, которые дают формулы (5.1.10). Найти вероятность того, что будет искажено не менее двух сообщений.

Решение. Случайная величина Х – число искаженных сообщений – распределена по биномиальному закону (под «опытом» разумеется передача сообщения, а под «успехом» - его искажение).

По формуле (5.1.1) находим:

P₀=q⁵=0,7⁵=0,16807;          P₁= pq⁴=50,30,7⁴=0,36015;        P₂= p²q³= 0,3²0,7³=0,30870;

P₃= p³q²=0,13230;          P₄= p⁴q=0,02835;                           P₅=p⁵=0,00243.

Или, приближенно, с точностью до 0,001:

       Р₀=0,168;        Р₁=0,360;        Р₂=0,309;        Р₃=0,133;        Р₄=0,028;        Р₅=0,002

(значение Р₃ округлено в большую сторону, чтобы сумма всех вероятностей P_m была не 0,999, а ровно 1).

Приближенно ряд распределения будет иметь вид:     .

Пользуясь приближенным рядом распределения, находим математическое ожидание случайной ве­личины Х:

                   m_x=00,168+10,360+20,309+30,133+40,028+50,002=1,499.

Первая из формул (5.1.10) дает для m_x более точное значение:           m_x=50,3=1,5.

Имея в виду возможность ошибок, хоть и незначительных, дисперсию D_x вычисляем, пользуясь не приближенными, а точными значениями Р_m. Второй начальный момент

                   ₂=0²0,16807+1²0,36015+2²0,30870+3²0,13230+4²0,02835+5²0,00243=3,30.

Вычитая из ₂ точное значение =2,25, получим D_x=1,05, что совпадает с результатом, даваемым второй формулой (5.1.10). Среднее квадратическое отклонение равно

                   .

Найдем вероятность R₂ того, что будет искажено не менее двух сообщений:

                   R₂=P{X2}=1-P{X<2}=1-(P₀+P₁)0,472.

Пример 2. Игральная кость бросается четыре раза. Найти вероятности того, что шестерка появится  а) ровно один раз; б) хотя бы один раз.

Решение: случайная величина Х – число появлений шестерки – имеет биномиальное распределение с параметрами n=4; p=1/6.

a) P{X=1}= p(1-p)³=4(1/6)(5/6)³0,386.

б) Вероятность R₁=P{X1}=1-P{X<1}=1-P₀=1-(5/6)⁴=1-0,483=0,517.

В ряде задач практики приходится иметь дело не с биномиальным распределением, а с его обобще­нием на случай, когда вероятность «успеха» в n независимых опытах не постоянна, а меняется от опыта к опыту: в i-ом опыте она равна p_i (i=1,2,…,n). Будем называть это распределение обобщенным биноми­альным.

Производящая функция случайной величины Х, распределенной по обобщенному биномиальному закону, имеет вид:

                   (z)=(q₁+p₁z) (q₂+p₂z)… (q_n+p_nz)                                                    (5.1.11)

или, короче,

                   (z)= ,                                                                         (5.1.12)

где q_i=1-p_i.

Нетрудно убедиться, что, перемножая биномы (5.1.12) и приводя подобные члены с одинаковыми степенями z, мы получим

                   (z)= ,                                                                                 (5.1.13)

где P_m – сумма всех возможных произведений, в которые входят m букв p_i с разными индексами и (n-m) букв q_i c разными индексами. Но точно по такому же алгоритму составляются и коэффициенты при z^m в разложении производящей функции (5.1.12) по степеням z.

При вычислении вероятностей P_m в обобщенном биномиальном распределении часто бывает удобнее не перебирать все возможные комбинации распределений, а перемножать биномы производящей функ­ции.

Важнейшие числовые характеристики случайной величины Х, имеющей обобщенное биномиальное распределение, равны:

                   m_x= ;      D_x= .                                                            (5.1.14)

Формулы (5.1.14) можно было бы вывести, исходя из производящей функции (5.1.12), но их можно получить гораздо более простым путем, используя теоремы о числовых характеристиках, которые, однако, не входят в наш курс.

Пример 3. По каналу связи передаются четыре сообщения. Каждое из них, независимо от других, может быть искажено. Первое сообщение искажается с вероятностью р₁=0,1, второе – с вероятностью р₂=0,2, третье – с вероятностью р₃=0,3, четвертое – с вероятностью р₄=0,4, случайная величина Х – число искаженных сообщений. Пользуясь производящей функцией, построить ряд распределения слу­чайной величины Х. Найти вероятность того, что будет искажено: а) хотя бы одно сообщение, б) не ме­нее двух сообщений. Найти – непосредственно и по формулам (5.1.14) – её числовые характеристики: m_x, D_x и _х.

Решение. Производящая функция:

(z)=(q₁+p₁z)(q₂+p₂z)(q₃+p₃z)(q₄+p₄z)=(0,9+0,1z)(0,8+0,2z)(0,7+0,3z)(0,6+0,4z)= =0,3024+0,4404z+0,2144z²+0,0404z³+0,0024z⁴.

Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

;

                   m_x=00,3024+10,4404+20,02144+30,0404+40,0024=1,000.

Тот же результат даст первая формула (5.1.14):           m_x=0,1+0,2+0,3+0,4=1.

Дисперсию вычислим не через второй центральный момент, а непосредственно:

         D_x=(0-1)²0,3024+(1-1)²0,4404+(2-1)²0,2144+(3-1)²0,0404+(4-1)²0,0024=0,7.

Тот же результат получим по второй формуле (5.1.14):

                   D_x=0,90,1+0,80,2+0,70,3+0,60,4=0,7.

Извлекая корень из D_x, получим

                   .

Вероятность того, что будет искажено хотя бы одно сообщение и не менее двух сообщений:

                   R₁=1-P₀=0,6976;         R₂=1-(P₀+P₁)=0,2572.