8.3. Надёжность резервированной системы (продолжение)

 Задача 2. Система с холодным резервом и простейшими потоками отказов. Резервированная система (блок) S состоит из основного элемента Э1 и двух резервных: Э2, Э3 . При отказе элемента Э1 в работу включается Э2, при отказе Э2 - Э3, (рис.8.3.3).

До включения каждый из резервных элементов находится в «холодном» резерве и отказать не может. Интенсивность потока отказов основного элемента ₁; интенсивность потока отказов каждого из резервных элементов, когда они работают, одинакова и равна ₂. Все потоки отказов простейшие. Требуется определить надежность системы S.

Представим процесс, протекающий в системе S, как марковский случайный процесс с непрерывным временем и с дискретными состояниями:            

S₁ – работает основной элемент Э₁,

S₂ – работает резервный элемент Э₂,

S₃ – работает резервный элемент Э₃,

S₄ - не работает ни один элемент.

Граф состояний системы показан на рис. 8.3.4. Так как восстановления элементов не происходит, все стрелки на графе ведут в одну сторону.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний будет:

                                                       (8.3.8)

К ним надо прибавить нормировочное условие:

p₁ + p₂ + p₃+ p₄ =1.                                                               (8.3.9)

Из первого уравнения выражаем p₁ как функцию t:

                                                                        (8.3.10)

(начальное условие, при котором мы проинтегрировали это уравнение, p₁(0) = 1). Подставляя (8.3.10) во второе уравнение, получим:

.                                                (8.3.11)

Проинтегрируем это уравнение с начальным условием p₂(0)=0; получим:

.                            (8.3.12)

Эту функцию подставим в третье уравнение (8.3.8); получим:

               (8.3.13)

Уравнение (8.3.13) нужно проинтегрировать тоже при начальном условии p₃(0)=0; получим:

(8.3.14)

Для нахождения функции р₄(t) не нужно интегрировать последнее уравнение (8.3.8) – ее можно найти из условия (8.3.9):

.►

Задача 3. Система с облегченным резервом и простейшими потоками отказов. Резервированная система (блок) S состоит из основного элемента Э₁ и трех резервных: Э₂, Э₃, Э₄ (рис. 8.3.5). Основной элемент подвергается простейшему потоку отказов с интенсивностью ₁ ; каждый из резервных до своего включения подвергается потоку отказов с интенсивностью ₂ ; после включения резервного элемента эта интенсивность мгновенно подскакивает до значения ₂. При отказе основного элемента Э₁ включается в работу резервный Э₂, при отказе Э₂ – Э₃ и т.д.

Требуется определить надежность системы.

Будем нумеровать состояние системы двумя индексами: первый равен единице, если основной элемент работает, и нулю – если не работает; второй равен числу исправных резервных элементов:

S₁₃ - основной элемент исправен (работает), все три резервных исправны;

S₁₂ - основной элемент исправен (работает), из трех резервных один отказал, два исправны;

S₁₁ - основной элемент исправен (работает), из трех резервных два отказали, один исправен;

S₁₀ - основной элемент исправен (работает), все три резервных отказали;

S₀₃ - основной элемент отказал, работает один из резервных, остальные два исправны;

S₀₂ - основной элемент отказал, работает один из резервных, из остальных резервных один исправен, другой отказал;

S₀₁ - основной элемент отказал, работает один из резервных, остальные два резервных отказали;

S ₀₀– все элементы отказали.

Граф состояний системы показан на рис.8.3.6.

Система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний имеет вид:

      (8.3.15)

К этим уравнениям нужно добавить условие:

p₁₃ + p₁₂ + p ₁₁+ p₁₀ + p₀₃ + p₀₂ + p₀₁ + p₀₀ =1,

позволяющее отбросить любое из уравнений (6.15).

Интегрирование системы (8.3.15) может быть осуществлено в следующем порядке: из первого уравнения находим p₁₃(t):

.                                           (8.3.16)

Это выражение подставляется во второе уравнение, которое теперь содержит только одну неизвестную функцию p₁₂(t); находим ее, подставляем в третье уравнение, и так далее. На каждом шаге такого процесса новые функции мы выражаем через уже известные, пока, наконец, не доходим до p₀₀ , которую выражаем через все остальные:

                                p₀₀(t)=1-(p₁₃(t)+p₁₂(t)+p₁₁(t)+ p₁₀(t)+ p₀₃(t)+ p₀₂(t)+ p₀₁(t)).

После того, как вычисления произведены и функции p₁₃(t),…,p₀₀(t) найдены, можно найти надежность системы P(t). Очевидно, она равна сумме вероятностей всех состояний, при которых система работает:

                                P(t)=p₁₃(t)+p₁₂(t)+p₁₁(t)+ p₁₀(t)+ p₀₃(t)+ p₀₂(t)+ p₀₁(t),

или, что то же     P(t)=1-p₀₀(t).►