8.3. Надежность резервированной системы. «Холодный» и «облегченный» резерв
До сих пор мы рассматривали только случай, когда надежность каждого дублирующего элемента не зависит от того, когда включился в работу этот элемент. Этот случай, который мы условно назвали «горячим резервированием», самый простой их всех возможных. Гораздо сложнее случай, когда резервный элемент до своего включения в работу вообще не может отказывать («холодное» резервирование) или может отказывать, но с другой, меньшей плотностью вероятности, чем после включения («облегченное» резервирование).
При рассмотрении задач, связанных с холодным или облегченным резервированием, нам недостаточно будет вводить надежности системы и элементов для одного, заранее фиксированного, значения времени ; необходимо будет проанализировать весь случайный процесс функционирования системы.
Рассмотри несколько задач, относящихся к холодному и облегченному резервированию.
Задача 1.
Общий случай расчета
надежности резервированной системы
(«облегченный» или
«холодный» резерв). Система (блок) состоит
из «параллельно» включенных элементов
Э1
и Э2
(основного и резервного). Интенсивность
потока отказов первого элемента 1(t);
при отказе первого элемента происходит
автоматическое и безотказное переключение
на резервный (рП
= 1). Интенсивность потока отказов
резервного элемента до его включения
в работу 2(t)
(элемент работает в «облегченном»
режиме). После его включения в работу,
в момент отказа первого элемента,
интенсивность мгновенно подскакивает
(рис.8.3.1) и становится равной интенсивности
,
которую естественно предполагать
зависящей не только от текущего времени
t,
но и от того срока t1,
в течение которого элемент работал в
облегченном режиме:
.
Требуется найти надежность системы Р(t).
Рассмотрим совокупность двух случайных величин:
Т1 – момент отказа основного элемента,
Т2 – момент отказа резервного элемента.
Событие А – безотказная работа системы до момента t – состоит в том, что хотя бы одна из величин Т1, Т2 примет значение, большее, чем t (хотя бы один элемент будет работать к моменту t). Вероятность противоположного события – отказа системы до момента t будет
Р( ) = 1 – Р(А) = Р(Т1 < t, T2 < t).
Найдем совместную плотность распределения случайных величин Т1 и Т2, обозначая ее f(t1, t2). Случайные величины Т1, Т2 зависимы, и
f(t1, t2) = f1(t1) f(t2 t1). (8.3.1)
где f1(t1) – безусловная плотность распределения величины Т1, f(t2 t1) – условная плотность распределения величины Т2 (при условии, что величина Т1 приняла значение t1).
Найдем обе плотности. По формуле (3.7) f1(t1)=1(t1) р1(t1),
где р1
(t1)
– надежность элемента Э1,
в силу формулы (3.9) равная
.
Отсюда 
.
(8.3.2)
Найдем условную плотность (t2/t1). Условная интенсивность отказов резервного элемента при условии, что T1=t1, будет:
(8.3.3)
При этой интенсивности найдем условную плотность распределения времени безотказной работы резервного элемента:
(8.3.4)
Таким образом, совместная
плотность распределения системы
случайных величин T1,
T2 найдена:
(8.3.5)
Зная эту совместную плотность, можно найти вероятность отказа системы до момента t:
,
откуда искомая надежность системы:
(8.3.6)
При вычислении по формулам (8.3.5) – (8.3.6) необходимо иметь в виду, что выражение функции f(t1,t2) неодинаково по одну и другую сторону от прямой t1= t2 - биссектрисы первого координатного угла (рис. 8.3.2). Области интегрирования на рис. 8.3.2 отмечены разной штриховкой.
В области функция f(t1,t2)
выражается первой из формул (8.3.5), в области - второй; следовательно,
. (8.3.7)
При заданном конкретном виде функций 1(t), 2(t), 2(t/t1) интеграл (8.3.7) может быть вычислен, в простейших случаях аналитически, чаще – численно.
Заметим, что найденное нами решение задачи оценки надежности для случая «облегченного» резерва относится и к случаю «холодного» резерва – при этом 2(t)=0, так что в формуле (8.3.7) остается только один интеграл – второй, да и тот тоже упростится.
Мы видим, что в случае даже одного резервного элемента, работающего в облегченном (или холодном) резерве задача оценки надежности системы довольно сложна. Если же число резервных элементов более одного, задача еще больше усложняется. В общем виде такие задачи зачастую и не рассматриваются.
Однако задача может быть сильно упрощена, если предположить, что потоки неисправностей, действующие на все элементы (основной и резервный), представляют собой простейшие потоки, интенсивность каждого из которых постоянна (это допущение равносильно тому, что закон надежности каждого элемента – экспоненциальный, а включение элемента в работу меняет только параметр этого закона). При таком допущении надежность системы S может быть найдена путем решения дифференциальных уравнений для вероятностей ее состояний. Для этого метода используются понятия и результаты теории марковских случайных процессов.