4 Постановка задачи и формирование варианта курсового проекта для расчета надежности вс.

В данной курсовой работе необходимо рассчитать вероятность безотказной работы и произвести анализ и оптимизацию полученной по варианту схемы. Для этого необходимо:

1.     Вычислить верхнюю и нижнюю границу надёжности схемы методом минимальных путей и сечений.

2.     Преобразовать полученную схему в параллельно-последовательный вид и рассчитать её надёжность.

3.     Рассчитать надёжность методом статистических испытаний.

4.     Рассчитать надёжность и выбрать оптимальную структуру ВС с наибольшей вероятностью безотказной работы при ограничении финансовых возможностей в 150 у.е.. Расчет необходимо проводить исходя из того, что все элементы имеют одинаковую стоимость 10 у.е.

5.     Сравнить полученные во всех методах результаты и сделать выводы.

Для расчета надёжности ВС с последовательно-параллельной структурой задана общая схема, из которой путём исключения из неё элемента, номер которого совпадает с номером варианта, получаем исходную схему для расчета. Вероятность безотказной работы каждого элемента определяется из того, что P₁=0.5, а все последующие рассчитываются по формуле P_i+1=P_i+0.02.

Общая схема для расчета надежности системы

 

5 Пример реализации задания по курсовому проекту.

Пусть согласно заданию имеется схема ВС, представленная таким образом:

Элемент 8 исключен из схемы, исходя из варианта.

Даны следующие значения вероятностей безотказной работы для каждого элемента системы:

P[1]=0.50; P[2]=0.52; P[3]=0.54; P[4]=0.56; P[5]=0.58;P[6]=0.60;

P[7]=0.62; P[9]=0.66; P[10]=0.68; P[11]=0.70; P[12]=0.72;P[13]=0.74;

P[14]=0.76; P[15]=0.78; P[16]=0.80.

1. Как видно из схемы, она не является последовательно-параллельной, поэтому невозможно точно рассчитать вероятность безотказной работы системы. В этом случае мы можем произвести оценку верхней и нижней границы вероятности безотказной работы ВС. Для этого воспользуемся методом минимальных путей и сечений. Анализируя предложенную схему, были определены возможные минимальные пути и сечения.

Исходя из схемы, было установлено 20 путей для оценки верхней границы:

(1;6;12;15), (1;6;11;15), (1;6;7;9;13;16), (1;6;7;9;14;16), (2;6;12;15),

(2;6;11;15), (2;6;7;9;13;16), (2;6;7;9;14;16), (3;9;13;16), (3;9;14;16),

(3;7;11;15), (3;7;12;15), (4;10;9;7;11;15),(4;10;9;7;12;15), (4;10;13;16),

(4;10;14;16),(5;10;9;7;11;15),(5;10;9;7;12;15), (5;10;13;16), (5;10;14;16).

Для оценки нижней границы получили 32 сечения:

(1;7;9;4;5), (1;2;3;4;5), (1;2;7;9;10), (1;2;3;10), (1;2;3;9;13;14), (1;2;3;9;16), (1;2;7;13;14), (1;2;7;16), (6;3;4;5), (6;7;9;4;5), (6;3;10), (6;7;9;10), (6;7;13;14), (6;3;9;13;14), (6;7;16), (6;3;4;5), (11;12;7;3;4;5), (11;12;9;4;5), (11;12;7;3;10), (11;12;9;10), (11;12;7;9;13;14), (11;12;13;14), (11;12;7;3;9;16), (15;7;3;4;5), (15;9;4;5), (15;7;3;10), (15;9;10), (15;13;14), (15;7;3;9;13;14), (15;16), (15;3;7;9;16).

Для оценки границ и расчета вероятностей безотказной работы строятся вспомогательные системы. Вероятность Pн выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из последовательно включенных групп подсистем, соответствующих всем минимальным сечениям системы. Каждая группа состоит из параллельно включенных подсистем соответствующего минимального сечения. Таким образом рассчитанное для исходной схемы значение нижней границы равно Р_н=0.6376

Вероятность P_в выражается как вероятность безотказной работы вспомогательной системы, составленной из параллельно включенных групп подсистем, соответствующих всем минимальным путям системы. Каждая группа состоит из последовательно включенных подсистем соответствующего минимального пути. При расчете получено значение верхней границы равное P_в=0.8057. 

2. Зная верхнюю и нижнюю границы вероятности безотказной работы, можно определить приблизительное значение вероятности безотказной работы схемы. Для этого преобразуем схему, т.е. упростим сложные связи в системе. Например, продублируем элемент N3. Получим следующую схему:

Эта схема является последовательно-параллельной. Рассчитаем вероятность безотказной работы для полученной схемы. Полученное значение P_и=0.7557 входит в диапазон границ вероятности безотказной работы системы. Это значит, что преобразованную схему можно принять за эквивалентную исходной схеме. Поэтому в дальнейшем будем использовать эту систему в качестве основной.

3. Метод статистических испытаний. Статистические испытания схемы проводятся исходя из того, что генерирование случайных логических переменных x_i проводится с помощью равномерного распределения от 0 до 1 случайных чисел _i. При этом

X_i=1, если _i<0.5,

X_i= 0, если _i>0.5.

Далее для каждого элемента системы определяется значение X_i, т.е. определяется работоспособность элемента: 1-элемент работоспособен, 0-нет.Затем идёт расчет вероятности безотказной работы схемы , но уже с учетом только рабочих в данный момент элементов. Процесс вычисления повторяется 50000 раз (количество прогонов зависит от необходимой точности) с новыми, независимыми случайными значениями аргументов x_i (при этом подсчитывается количество N единичных значений структурной логической функции). Отношение N/5000 является статистической оценкой Р_с(t) вероятности безотказной работы системы.

Программная реализация данного метода расчета дала следующий результат: Рс=0.6968. Этот результат также соответствуют ранее рассчитанным значениям.

4. Расчет надежности и выбор оптимальной структуры вычислительной системы.

Необходимо расчитать вероятность безотказной работы системы при заданных ограничениях:

 C_i*X_i<=C_сист,

где C_i - стоимость элемента системы (Ci=10 у.е., i=1,…,n);

C_сист – общая стоимость системы (Ссист=100 у.е.).

В связи с этим нужно исключить из исходной схемы 5 элементов, с учетом того, чтобы вероятность безотказной работы системы была максимальной. Программная реализация данной оптимизации может быть выполнена разными способами (методом сплошного перебора, методом динамического программирования и т.д.). В данном случае мы используем наиболее простой, но неэффективный способ сплошного перебора.

После тестирования всех возможных комбинаций были получены результаты: максимальной вероятность безотказной работы становится при исключении элементов 1, 2, 4, 6, 7 и принимает значение Р=0.6898.

6.В результате анализ исходной системы различными методами были получены следующие значения.

Оценка верхней и нижней границы вероятности безотказной работы системы методом минимальных путей и сечений привела к интервалу 0.6376<P_и<0.8057. При преобразование схемы был получен результат P_и=0.7557. При статистических испытаниях основной схемы было получено значение Рс=0.6968 . Согласно полученным результатам можно сказать, что расчеты значения вероятности безотказной работы, исходя из всех методов, приводят к приблизительно одному значению.

Оптимизация системы при ограничении в 100у.е. методом сплошного перебора исключаемых элементов привела к значению максимальной вероятности безотказной работы P_max= 0.6898. При этом исключаются элементы 1, 2, 4, 6, 7. Все остальные комбинации не дают большей вероятности безотказной работы системы.

109