8.4.1. Критерии надежности восстанавливаемых изделий

 

Как уже отмечалось, на практике зачастую неизвестны функциональные зависимости, описывающие надёжность, плотность распределения и другие характеристики надёжности интересующих нас устройств. Поэтому соответствующие показатели надёжности определяются по данным экспериментальных наблюдений. Так же отмечалось, что на практике (особенно в технике) часто используются другие названия этих характеристик.

Помимо показателей надёжности, используемых для невосстанавливаемых изделий (вероятность безотказной работы P(t); частота отказов a(t); интенсивность отказов (t); средняя наработка до первого отказа T_ср), для восстанавливаемых изделий применяются следующие показатели:

       наработка на отказ t_ср;

       параметр потока отказов (t);

       функция готовности К_г(t);

       коэффициент готовности К_г.

Познакомимся, как они определяются в практической деятельности.

Рассмотрим следующую модель испытания.

Пусть на испытании находится N изделий и пусть отказавшие изделия немедленно заменяются ис­правными (новыми или отремонтированными). Испытания считаются законченными, если число отка­зов достигает величины, достаточной для оценки надежности с определенной доверительной вероятно­стью. Если не учитывать времени, потребного на восстановление системы, то количественными харак­теристиками надежности могут быть параметр потока отказов (t) и наработка на отказ t_ср.

Параметром потока отказов называется отношение числа отказавших изделий в единицу времени к числу испытываемых изделий при условии, что все вышедшие из строя изделия заменяются исправ­ными (новыми или отремонтированными). Согласно определению

                               ,                                                              (8.4.1.1)

где n(t) – число отказавших образцов в интервале времени от t-t/2 до t+t/2; N – число испытывае­мых образцов; t – интервал времени.

Выражение (8.4.1.1) является статистическим определением параметра потока отказов.

Параметр потока отказов и частота отказов для ординарных потоков с ограниченным последействием связаны интегральным уравнением Вольтерра второго рода

                               .                                         (8.4.1.2)

По известной а(t) можно найти все количественные характеристики надежности невосстанавливае­мых изделий. Поэтому (8.4.1.2) является основным уравнением, связывающим количественные характери­стики надежности невосстанавливаемых и восстанавливаемых изделий при мгновенном восстановле­нии.

Уравнение (8.4.1.2) можно записать в операторной форме:

                                         .                                (8.4.1.3)

Соотношения (8.4.1.3) позволяют найти одну характеристику через другую, если существуют преобра­зования Лапласа функций а(s) и (s) и обратные преобразования выражений (8.4.1.3).

Параметр потока отказов обладает следующими важными свойствами:

1)        для любого момента времени независимо от закона распределения времени безотказной работы па­раметр потока отказов больше, чем частота отказов, т.е. (t)>a(t);

2)        независимо от вида функции a(t) параметр потока отказов (t) при t стремится к 1/Т_ср. Это важ­ное свойство параметра потока отказов означает, что при длительной эксплуатации ремонтируемого изделия поток его отказов независимо от закона распределения времени безотказной работы стано­вится стационарным. Однако это вовсе не означает, что интенсивность отказов есть величина посто­янная;

3)        если (t) – возрастающая функция времени, то (t)>(t)>a(t), если (t) – убывающая функция, то (t)>(t)>a(t);

4)        при (t)const параметр потока отказов системы не равен сумме параметров потоков отказов эле­ментов, т.е.                 .                                  (8.4.1.4)

Это свойство параметра потока отказов позволяет утверждать, что при вычислении количественных характеристик надежности сложной системы нельзя суммировать имеющиеся в настоящее время значе­ния интенсивностей отказов элементов, полученные по статистическим данным об отказах изделий в условиях эксплуатации, так как указанные величины являются фактически параметрами потока отказов;

5)        при (t)==const параметр потока отказов равен интенсивности отказов (t)=(t)=.

Из рассмотрения свойств интенсивности и параметра потока отказов видно, что эти характеристики различны.

В настоящее время широко используются статистические данные об отказах, полученные в условиях эксплуатации аппаратуры. При этом они часто обрабатываются таким образом, что приводимые харак­теристики надежности являются не интенсивностью отказов, а параметром потока отказов (t). Это вносит ошибки при расчетах надежности. В ряде случаев они могут быть значительными.

Для получения интенсивности отказов элементов из статистических данных об отказах ремонтируе­мых систем необходимо воспользоваться формулой (3.16) ( где N_ср=(N_i+N_i+1)/2 – среднее число исправно работающих изделий в интервале t), для чего необходимо знать предысторию каж­дого элемента принципиальной схемы. Это может существенно усложнить методику сбора статистиче­ских данных об отказах. Поэтому целесообразно определять (t) по параметру потока отказов (t). Ме­тодика расчета сводится к следующим вычислительным операциям:

          по статистическим данным об отказах элементов ремонтируемых изделий и по формуле (8.4.1.1) вычисляется параметр потока отказов и строится гистограмма _i(t);

       гистограмма заменяется кривой, которая аппроксимируется уравнением;

       находится преобразование Лапласа _i(s) функции _i(t);

       по известной _i(s) на основании (8.4.1.3) записывается преобразование Лапласа а_i(s) частоты отка­зов;

       по известной а_i(s) находится обратное преобразование частоты отказов а_i(t);

       находится аналитическое выражение для интенсивности отказов по формуле

;                                     (8.4.1.5)

-         строится график _i(t).

Если имеется участок, где _i(t)= _i=const, то постоянное значение интенсивности отказов принима­ется для оценки вероятности безотказной работы. При этом считается справедливым экспоненциальный закон надежности.

Приведенная методика не может быть применена, если не удается найти по а(s) обратное преобразо­вание частоты отказов а(t). В этом случае приходится применять приближенные методы решения инте­грального уравнения (8.4.1.2). Решение наиболее просто можно получить с помощью ЭЦВМ.

Наработкой на отказ называется среднее значение времени между соседними отказами.

Эта характеристика определяется по статистическим данным об отказах по формуле

                                           ,                                                  (8.4.1.6)

где t_i – время исправной работы изделия между (i-1)-м и i-м отказами; n – число отказов за некоторое время t.

Из формулы (8.4.1.6) видно, что в данном случае наработка на отказ определяется по данным ис­пытания одного образца изделия. Если на испытании находится N образцов в течение времени t, то на­работка на отказ вычисляется по формуле

                                           ,                                (8.4.1.7)

где t_ij – время исправной работы j-го образца изделия между (i-1)-м и i-м отказом; n_j – число отказов за время t j-го образца.

Наработка на отказ является достаточно наглядной характеристикой надежности, поэтому она полу­чила широкое распространение на практике.

Параметр потока отказов и наработка на отказ характеризуют надежность ремонтируемого изде­лия и не учитывают времени, потребного на его восстановление. Поэтому они не характеризуют готов­ности изделия к выполнению своих функций в нужное время. Для этой цели вводится такие критерии, как коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя.

Коэффициентом готовности называется отношение времени исправной работы к сумме времен ис­правной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календарный срок. Эта ха­рактеристика обозначается К_г.

Согласно данному определению

                                           К_г=t_p/(t_p+t_п),                                                               (8.4.1.8)

где t_p – суммарное время исправной работы изделия; t_п – суммарное время вынужденного простоя.

Времена t_p и t_п вычисляются по формулам

                                           ,               ,                        (8.4.1.9)

где t_pi – время работы изделия между (i-1)-м и i-м отказом; t_пi – время вынужденного простоя после i-го отказа; n – число отказов (ремонтов) изделия.

Выражение (8.4.1.8) является статистическим определением коэффициента готовности. Для перехода к вероятностной трактовке величины t_p и t_п заменяются математическими ожиданиями времени между со­седними отказами и времени восстановления соответственно.

Тогда

                                           К_г=t_ср/(t_ср+t_в)                                                           (8.4.1.10)

где t_ср – наработка на отказ; t_в – среднее время восстановления.

Коэффициентом вынужденного простоя называется отношение времени вынужденного простоя к сумме времен исправной работы и вынужденных простоев изделия, взятых за один и тот же календар­ный срок.

Согласно определению

                                           =t_п/(t_р+t_п)                                                            (8.4.1.11)

или, переходя к средним величинам,

                                           К_п=t_в/(t_ср+t_в).                                                           (8.4.1.12)

Коэффициент готовности и коэффициент вынужденного простоя связаны между собой зависимостью

                                           К_п=1-К_г.                                                                 (8.4.1.13)

При анализе надежности восстанавливаемых систем обычно коэффициент готовности вычисляют по формуле

                                           К_г=Т_ср/(Т_ср+t_в).                                                         (8.4.1.14)

Однако формула (8.4.1.14) верна только в том случае, если поток отказов простейший, и тогда t_ср=Т_ср.

Часто коэффициент готовности, вычисленный по формуле (8.4.1.14), отождествляют с вероятностью того, что в любой момент времени восстанавливаемая система исправна. На самом деле указанные ха­рактеристики неравноценны и могут быть отождествлены при определенных допущениях.

Действительно, вероятность возникновения отказа ремонтируемой системы в начале эксплуатация мала. С ростом времени t эта вероятность возрастает. Это означает, что вероятность застать систему в исправном состоянии в начале эксплуатации будет выше, чем по истечении некоторого времени. Между тем на основании формулы (8.4.1.14) коэффициент готовности не зависит от времени работы.

Для выяснения физического смысла коэффициента готовности К_г запишем формулу для вероятности застать систему в исправном состоянии. При этом рассмотрим наиболее простой случай, когда интен­сивность отказов и интенсивность восстановления есть величины постоянные.

Предполагая, что при t=0 система находится в исправном состоянии (Р(0)=1), вероятность застать систему в исправном состоянии определяется из выражений

                                           ,

                                           ,                                 (8.4.1.15)

где                                           ;  ;      .

Это выражение устанавливает зависимость между коэффициентом готовности системы и вероятно­стью застать её в исправном состоянии в любой момент времени t.

Из (8.4.1.15) видно, что Р_г(t)К_г при t, т.е. практически коэффициент готовности имеет смысл веро­ятности застать изделие в исправном состоянии при установившемся процессе эксплуатации.

В некоторых случаях критериями надежности восстанавливаемых систем могут быть также критерии надежности невосстанавливаемых систем, например: вероятность безотказной работы, частота отказов, средняя наработка до первого отказа, интенсивность отказов. Такая необходимость возникает всегда, когда имеет смысл оценить надежность восстанавливаемой системы до первого отказа, а также в слу­чае, когда применяется резервирование с восстановлением отказавших резервных устройств в процессе работы системы, причем отказ всей резервированной системы не допускается.

Пример 1. В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного экземпляра радиолокационной станции. За весь период наблюдения было зарегистрировано 15 отказов. До начала наблюдения станция проработала 258 часов, к концу наблюдения наработка станции соста­вила 1233 час. Требуется определить среднюю наработку на отказ t_ср.

Решение. 1. Наработка радиолокационной станции за наблюдаемый период равна

                               t=t₂-t₁=1233-258=975 час.

2. Принимая , по формуле (8.4.1.6) находим среднюю наработку на отказ:

                               .►

Пример 2. Производилось наблюдение за работой трех экземпляров однотипной аппаратуры. За период наблюдения было зафиксировано по первому экземпляру аппаратуры 6 отказов, по второму и третьему – 11 и 8 отказов соответственно. Наработка первого экземпляра составила 181 час, второго – 329 и третьего – 245 час. Требуется определить наработку аппаратуры на отказ.

Решение. 1. Определяем суммарную наработку трех образцов аппаратуры:

                                час.

2. Определяем суммарное количество отказов: отказов.

3. Находим среднюю наработку на отказ по формуле (8.4.1.7):

                               час.►

Пример 3. Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу сис­темы. Известно, что первый прибор отказал 34 раза в течение 952 час. работы, второй – 24 раза в тече­ние 960 час. работы, а остальные приборы в течение 210 час. работы отказали 4, 6 и 5 раз соответст­венно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

Решение. Для решения данной задачи воспользуемся следующими соотношениями:

                                 и  .

1.      Определим интенсивность отказов для каждого прибора:

,       ,         .

2.      Интенсивность отказов системы будет

.

3.      Средняя наработка на отказ системы равна      .►