17.3. Расчет прохождения сигналов со сплошным спектром

При расчете прохождения непериодических сигналов спектраль­ным методом используются прямое и обратное преобразования Фурье (16.3) и (16.4). Представление непериодической функции в виде интеграла Фурье подразумевает суммирование бесконеч­ного числа незатухающих и бесконечно близких по частоте синусоидальных колебаний с бесконечно малыми амплитудами. Это дает возможность применять к бесконечно малым гармоническим составляющим токов и напряжений обычные методы расчета уста­новившихся режимов, а затем, пользуясь методом наложения, определять результирующие напряжения и токи. Ценность такого подхода заключается в том, что анализ переходного режима сво­дится к анализу установившихся режимов.

Предположим, что на линейную цепь, комплексная функция K(jω) которой известна, подается сигнал f_BX(t). Интеграл Фурье позволяет представить этот сигнал наложением бесконечного числа гармоник с комплексными: амплитудами .

Очевидно, комплексные амплитуды соответствующих гармоник выходного сигнала определяются произведением

а спектральная плотность выходного сигнала

равна произведению спектральной плотности входного сигнала на соответствующую комплексную функцию цепи,

Значение выходного сигналa как функции времени находим с помощью обратного преобразования Фурье наложением беско­нечно большого числа его гармонических составляющих:

Таким образом, по известной комплексной функции цепи и спектральной плотности входного сигнала с помощью обратного преобразования Фурье можно рассчитать реакцию цепи на любое заданное воздействие.

Расчет обычно ведут в такой последовательности:

находят спектральную плотность S_BX(jω) входного сигнала;

определяют необходимую входную или передаточную функцию цепи;

рассчитывают спектральную плотность выходного сигнала по формуле (17.11) как произведение S_BX(jω) на комплексную функ­цию цепи;

сигнал на выходе находят с помощью принципа наложения как сумму реакций цепи на каждое из воздействий в отдельности.

Пример 17.3.

На простую rC-цепь (см. рис. 6.6, α) действует одиночный прямоугольный импульс малой длительности ( ) с амплитудой U_m. Найти напряжение на выходе.

Решение.

1. Спектральная плотность входного сигнала:

т. е., так как , импульс на входе цепи можно представить δ(t) -функцией с площадью U_mt_И, характеризующейся сплошным спектром. Таким образом, задачу удается свести к нахождению реакции на воздействие δ(t) -функции.

2. Комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению:

3. Спектральная плотность выходного сигнала:

4. Сигнал на выходе цепи:

так как

Пример 17.4

На простую rC-цепь (см. рис. 6.6, а) действует одиночный прямоугольный импульс конечной длительности t_И с амплитудой U_m. Найти напряжение на выходе.

Решение.

1. Спектральная плотность выходного сигнала:

2. Сигнал на выходе цепи:

так как 2j sin jx = е^-x - е^x.

Форма импульса на входе и выходе цепи при разных постоянных времени τ=rC показана на рис. 17.3.