18.2. Применение операторного метода к анализу линейных электрических цепей. Законы ома и кирхгофа в операторной форме

Рассмотрим последовательный контур, содержащий элементы r, L и С, на который воздействует э. д. с. e(t) при ненулевых на­чальных условиях (рис. 18.1).

На основании второго закона Кирхгофа для мгновенных значе­ний для рассматриваемой цепи можно записать следующее интегро-дифференциальное уравнение:

Нижний предел у интеграла, стоящего в левой части этого уравнения, равный — , взят для того, чтобы учесть, что до мо­мента подключения к цепи источника э.д.с. e(t) конденсатор был заряжен. Этот интеграл можно представить в виде

где U_C(0) —начальное напряжение на емкости.

С учетом этого уравнение для рассматриваемой цепи будет иметь вид

Рассматривая заданную э. д. с. e(t) и искомый ток i(t) в качестве оригиналов, положим, что им соответствуют изображения Е(р) и I(p), т. е.

и .

Так как Uc(0) —величина постоянная, то

На основании свойства линейности преобразования Лапласа и теорем дифференцирования и интегрирования уравнению (18.16) соответствует следующее операторное уравнение для изображе­ний:

Это уравнение является выражением второго закона Кирхгофа в операторной форме для рассматриваемой цепи при ненулевых начальных условиях. Его можно представить в виде

или

где - приведенная операторная э.д. с.;

-операторное сопротивление.

Приведенная операторная э.д.с. е(р) учитывает ненулевые на­чальные условия в цепи: токи в индуктивностях и напряжения на емкостях в момент коммутации. Направление дополнительного источника э.д.с. Li(0) совпадает с направлением начального тока i(0), а направление источника э.д.с. U_C(0)/p определяется полярностью начального напряжения U_С(0) (от минуса к плюсу). Введение понятия приведенной операторной э.д. с. позволяет при­вести задачу с ненулевыми начальными условиями к задаче с ну­левыми начальными условиями. При нулевых начальных условиях ε(р)=Е(р).

Операторное сопротивление Z(p) можно определить как отно­шение изображения напряжения к изображению тока при нулевых начальных условиях. Операторные сопротивления элементов r, L и С соответственно равны r, pL и 1/рС.

Величину Υ(ρ), обратную операторному сопротивлению Z(p), называют операторной проводимостью:

Y(p)=l/Z(p).

Операторное сопротивление Z(p) и операторная проводимость Υ(p) формально отличаются от комплексного сопротивления Z(jω) и комплексной проводимости Υ(jω) только тем, что в них место jω занимает оператор р, т. е.

и .

Из уравнения (18.18) следует, что

I(p) = ε(p)/Z(p). (18.19)

Это соотношение выражает закон Ома в операторной форме.

Применив преобразование Лапласа к выражению для первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов в любом узле электрической цепи:

получим выражение этого закона в операторной форме:

Аналогичным образом из выражения второго закона Кирхгофа для любого контура электрической цепи

получим выражение этого закона в операторной форме:

где U_k(р) = Z_k(p)I_k(р) - L_ki_k ()) + U_Ck())/p.

Выражение (18.21) можно представить в виде

где ε_k(р) = E_k (р) + L_ki_k (0) - U_ck (0)/p.

Уравнению для изображений (18.17), полученному для схемы электрической цепи, приведенной на рис. 18.1, можно поставить в соответствие схему, приведенную на рис. 18.2.

Такую схему называют эквивалентной операторной схемой или схемой изображений. Она может быть получена из основной схемы, если индуктивности L и емкости С заменить операторными сопротивлениями pL и 1/рС, токи i(t) и внешние э.д. с. e(t) заме-

Нить их изображениями, а ненулевые начальные условия, соответ­ствующие моменту времени t = 0+ , т. е. моменту времени, следую­щему непосредственно за моментом коммутации, учесть введением в схему дополнительных источников э.д. с. Li(0) и U_c(0)/p,

Для эквивалентных операторных схем выражения законов Ома и Кирхгофа в операторной форме совпадают с выражениями этих законов в комплексной форме. Поэтому для отыскания изображе­ний токов и напряжений в эквивалентных операторных схемах применимы все методы расчета цепей синусоидального тока в символической форме.

Переход от полученных изображений токов и напряжений к их оригиналам можно произвести как непосредственно по обратному преобразованию Лапласа (18.2), так и с помощью ряда методов, облегчающих, решение этой задачи. Такими методами являются табличный метод, предполагающий использование таблиц опера­торных соответствий, методы, основанные на применении теорем операционного исчисления, и ряд других методов.

Порядок расчета электрических цепей операторным методом с помощью эквивалентных операторных схем рассмотрим на кон­кретных примерах.

Пример 18.1.

Найти выражение для мгновенного значения тока в цепи rL (рис. 18.3) при подключении ее к источнику постоянного напряжения Е при нулевых на­чальных условиях с помощью эквивалентной операторной схемы.

Решение.

Схеме, приведенной на рис. 18.3, соответствует эквивалентная операторная схема, приведенная на рис. 18.4, где Е(р)=Е/р.

Изображение тока в этой схеме найдем по закону Ома в операторной форме:

Для перехода к оригиналу, т. е. к мгновенному значению тока, восполь­зуемся таблицей операторных соответствий, из которой находим

Приведя изображение тока к табличному виду, получим

Следовательно, мгновенное значение тока в цепи будет Иметь вйД

где τ_ц = 1/а = L/r.

Пример 18.2.

С помощью эквивалентной операторной схемы найти выражение для напря­жения на емкости С (рис. 18.5) при подключении к цепи rC источника постоян-

ного напряжения Е при услогии, что в момент подключения цепи на емкости имелось напряжение U_c(0)

Решение.

Схеме, привелганой на рис. 18.5, соответствует эквивалентная операторная схема, приведенная на рис. 18.6. Из этой схемы найдем изображение напряже­ния на емкости

Использовав для перехода от изображения напряжения на емкости к ори­гиналу табличное операторное соответствие, приведенное в предыдущем при­мере, получим выражение для мгновенного значения напряжения на емкости

где τ_ц =rС.

Следует отметить, что переход к эквивалентной операторной схеме, особенно при нулевых начальных условиях, можно произ­вести мысленно, т. е. определять необходимые изображения токов или напряжений можно и по исходной схеме цепи, считая, что со­противления элементов L и С равны pL и 1/рС, включив при нену­левых начальных условиях последовательно с L и С дополнитель­ные источники э.д. с. Li(0) и U_C(0)/p.

18.3. ОПЕРАТОРНЫЕ ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ И ИХ СВЯЗЬ

С КОМПЛЕКСНЫМИ ПЕРЕДАТОЧНЫМИ

ФУНКЦИЯМИ И ВРЕМЕННЫМИ

ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Операторной передаточной функцией линейной электрической цепи К(р) называют отношение изображения выходной величины X(ρ) к изображению входной величины F(p) при нулевых началь­ных условиях:

к(р)=X(ρ)/F(ρ). (18.23)

По аналогии с комплексными передаточными функциями опе­раторными передаточными функциями цепи, рассматриваемой как четырехполюсник (рис. 18.7), являются: передаточная функция по напряжению К_U(р) = U₂(p)/U₁(p), пo току K_I(p)=I₂(P)/I₁(P), опе­раторное передаточное сопротивление Z₂₁(p) = U₂(p)/I₁(p) и опе­раторная передаточная проводимость Y₂₁ (р)=I₂(p/U₁(р).

Операторными передаточными функциями цепи, рассматривае­мой как двухполюсник (рис. 18.8), являются операторное входное сопротивление Z(p) = U(p)/I(p) и операторная входная проводи­мость Y(p)=I(p)/U(p) = 1/Z(p).

Операторные передаточные функции электрической цепи К(р), так же как и ее комплексные передаточные функции К(jω) и вре­менные характеристики h(t) и a(t), не зависят от внешних воздей­ствий на цепь. Они определяются только схемой цепи и парамет­рами входящих в нее элементов, т. е. характеризуют собственно цепь, и связаны между собой. Найдем эти связи.

Из сравнения выражений для прямых преобразований Лапласа (18.1) и Фурье (16.3) непосредственно следует, что

, (18.24)

т. е. операторная передаточная функция цепи К(р) получается из ее комплексной передаточной функции K(jω) путем замены у K(jω) переменной jω оператором р. Поэтому для расчета К(р) по из­вестной схеме цепи можно применить все методы расчета K(jω). Связь между операторной передаточной функцией К(р) и вре­менными характеристиками цепи h(t) и a(t) можно установить

непосредственно из определения этих характеристик и из связи изображений выходной величины X(ρ) и входной величины F(p), следующей из уравнения (18.23):

X(p) = F(p)K(p). (18.25)

Если на вход линейной электрической цепи при нулевых на­чальных условиях подать воздействие в виде единичной функции включения l(t), то реакция на выходе цепи будет ее переходной характеристикой h(t), т. е. если ƒ(t) = l(t), то x(t)=h(t). Так как изображение единичной функции включения 1 (t) = Ì/p, то, учитывая выражение (18.25), получим

h (t) K(p)/p, (18.26)

т. е. изображение переходной характеристики цепи равно ее операторной передаточной функ­ции, деленной на оператор р.

Если на вход линейной электрической цепи при нулевых на­чальных условиях подать воздействие в виде дельта-функции δ(t), то реакция на выходе цепи будет ее импульсной характеристи­кой α(t), т. е. если ƒ(t)=δ(t), то x(t)=a(t). Так как изображе­ние дельта-функции δ(t) 1, то, учитывая выражение (18.25), получим

a(t) K(p), (18.27)

т. е. изображением импульсной характеристики цепи является ее операторная передаточная функция или оригиналом операторной передаточной функции цепи является ее импульсная характери­стика.

Полученные соотношения позволяют найти переходную h(t) и импульсную a(t) характеристики цепи по ее операторной пере­даточной функции.

Пример 18.3.

Найти операторную передаточную функцию, переходную h(t) и импульс­ную a(t) характеристики цени (рис. 18.9) по напряжению.

Решение.

Операторная передаточная функция по напряжению для рассматриваемой цепи

,

где .

Изображение переходной характеристики

.

Используя таблицу операторных соответствий, получим

.

Изображение импульсной характеристики

Используя таблицу операторных соответствий, получим

С оотношения .(18.26) и (18.27) позволяют также найти выра­жение для операторной передаточной функции цепи К(р) по ее заданным переходной h(t) или импульсной a(t) характеристикам, что используется при решении задач синтеза электрической цепи.

Пример 18.4.

Найти операторную передаточную функцию, схему и параметры цени, если ее переходная характеристика

Решение.

По таблице операторных соответствий находим изображение переходной характеристики цепи:

.

откуда .

Такую операторную передаточную функцию имеет электрическая цепь, рас­смотренная в примере 18.3. Однако такую же операторную передаточную функ­цию могут иметь и другие цепи, например цепь, приведенная на рис. 18.10, в которой =L/r.

Из рассмотренного примера видно, что решение задачи син­теза электрической цепи является неоднозначным, так как одни и те же операторные передаточные функции могут иметь различ­ные электрические цепи.