18.7. Свойства операторных входных функций электрических цепей

Операторными входными функциями электрической цепи, рас­сматриваемой как двухполюсник (см. рис. 18.8), являются опера­торное сопротивление Z(p)=U(ρ)/I(ρ) и операторная проводимость Y(p) = I(p)/U(p) = l/Z(p).

Эти функции можно рассматривать как передаточные функции цепи для случая, когда реакция цепи находится для той же пары зажимов, к которой подведено воздействие. Поэтому они, так же как и передаточные функции электрических цепей, являются ра­циональными функциями оператора р с вещественными коэффи-

циентами, т. е. представляют собой отношение двух полиномов, все коэффициенты которых вещественны (18.32):

При подстановке в это выражение вещественных значений ρ = α Z(p) будет вещественным.

Таким образом, первым свойством операторных входных функ­ций Z(p) и Υ(ρ) пассивных электрических цепей с сосредоточен­ными параметрами является то, что они являются вещественными функциями при вещественном значении р.

Вторым свойством Z(p) и Υ(ρ) является то, что при p=jω, т. е. при изменении р вдоль мнимой оси, вещественная часть лю­бой из этих функций не может принимать отрицательных значе­ний. В противном случае средняя мощность

потребляемая двухполюсником в режиме гармонических колеба­ний была бы отрицательной, что противоречит условию пассив­ности двухполюсника. Следовательно,

Re{Z(jω)} 0 и Re{Y(jω)} 0.

В отличие от операторных передаточных функций, у которых характеристическими полиномами (полиномами Гурвица) явля­ются только полиномы их знаменателей, у операторных входных функций линейных пассивных электрических цепей характеристи­ческими полиномами являются как полиномы знаменателей, так и полиномы числителей. Это следует из того, что функции Z(p) и Υ(ρ) связаны соотношением Z(p) = 1/Y(p), т. е. являются взаимно обратными.

Поэтому третьим свойством операторных входных функций электрических цепей является то, что их полюсы и нули распола­гаются только в левой полуплоскости комплексного оператора p = σ+jω или на мнимой оси. Причем при σ=0 все полюсы и нули простые. В частности, простыми будут полюсы и нули при p= 0 и p= , в связи с чем степени полиномов числителя и знамена­теля этих функций не могут'отличаться больше чем на единицу.

Рациональные функции переменного р, обладающие вышеука­занными свойствами, называют положительными вещественными функциями.

Таким образом, необходимым условием, которому должны удовлетворять операторные входные функции Z(p) и Υ(ρ) линей­ных пассивных электрических цепей с сосредоточенными парамет­рами, является то, чтобы эти функции были положительными ве­щественными функциями. Для определения принадлежности задан­ных функций к классу положительных вещественных функций разработаны специальные методы [47].

18.8. Нормирование операторных функций. Нормирование сопротивлений и частоты

Для удобства анализа и особенно синтеза электрических цепей производят нормирование сопротивлений и частоты.

Сущность нормирования сопротивлений состоит в том, что со­противления всех элементов цепи делят на постоянную вели­чину г₀, которая выбирается произвольно. Чаще всего эту вели­чину выбирают равной величине одного из активных сопротивле­ний рассматриваемой цепи. При этом нормированные значения операторных сопротивлений элементов r, L и С оказываются рав­ными;

Операторные входные и передаточные функции электрической цепи, состоящей из нормированных операторных сопротивлений, оказываются также нормированными.

Если заданной является функция нормированных сопротивле­ний электрической цепи и по ней получены нормированные значе­ния элементов цепи, то переход к истинным величинам элементов осуществляется по формулам;

. (18.60)

Сущность нормирования частоты заключается в том, что те­кущую частоту делят на постоянную частоту ш_с, которую обычно выбирают равной частоте среза или граничной частоте полосы пропускания электрической цепи. При этом оператор p=σ±jω становится равным или же, если σ=0, то р_н=±jω/ω_C. Если до нормирования частоты величины сопротивле­ний были равны r, pL и 1/рС, то для сохранения неизменными функций электрической цепи эти величины должны остаться та­кими же и после нормирования частоты. Для этого необходимо, чтобы

Если заданной является функция электрической цепи с норми­рованной частотой и по ней получены нормированные значения элементов цепи, то переход к истинным значениям элементов в этом случае осуществляется по формулам:

Наиболее часто производят нормирование и сопротивлений, и частоты одновременно. При этом нормированные величины эле­ментов оказываются равными:

а обратный переход от полученных в результате синтеза нормиро­ванных значений элементов к их истинным значениям осущест­вляется по формулам:

Пример 18.6.

Найти выражение для нормированного сопротивления двухполюсника, со­стоящею из последовательно включенных элементов: r=10² Ом; L=10^-4 Г; С=10^-8 Ф, если r₀₌10² Ом и ω_C=10⁶ 1/c.

Решение.

В соответствии с формулами (18.63) найдем нормированные значения эле­ментов:

При этом нормированное сопротивление двухполюсника

.

Сравнение полученного в рассмотренном выше примере выра­жения для нормированного сопротивления двухполюсника с не­нормированным, равным для рассматриваемого двухполюсника

.

показывает, что нормирование сопротивлений и частоты может привести к упрощению функций электрической цепи.

Следует отметить, что одновременное нормирование сопротив­лений и частоты приводит к тому, что элементы r, L и С стано­вятся безразмерными.