17.7. Связь между частотными и временными характеристиками цепи

Реакцию цепи на произвольное воздействие можно рассчитать с помощью как ее частотных, так и временных характеристик. В первом случае используют интеграл Фурье, во втором — инте­грал свертки. Частотные и временные характеристики соответст­вуют различным способам представления свойств цепи: частотному (спектральному) и временному. Оба вида характеристик зависят только от конфигурации, состава и параметров элементов цепи и имеют непосредственную связь между собой.

Как известно, импульсная временная характеристика a(t) чис­ленно равна реакции цепи на воздействие дельта-функции. Если К(jω) —комплексная функция цепи, то с помощью обратного пре­образования Фурье (16.4), учитывая уравнение (16.32), находим

С другой стороны,

Таким образом, комплексная функция цепи равна спектральной плотности ее импульсной временной характеристики, в то время как импульсная характеристика является обратным преобразова­нием Фурье (оригиналом) ее комплексной функции. Интегрирова­ние в выражении (17.41) осуществляется в пределах от 0 до + , так как a(t)=0 при t<0.

Представляя комплексную функцию цепи через ее вещественную R(ω) и мнимую Х(ω) части и разлагая е^jωt по формуле Эйлера, из уравнения (17.40) получим

так как в силу четности функции R(ω) и нечетности X(ω) произ­ведения R(ω) sin ωt и X(ω) cos ωt являются нечетными функциями частоты и

Выражение (17.42) справедливо для всех значений времени t. Заменив в нем t на — t и учитывая, что a(t)=0 при t<0, находим

Складывая равенства (17.42) и (17.43), получаем

Отсюда, учитывая связь между временными характеристиками цепи, находим переходную временную характеристику

Полученные соотношения (17.44) и (17.45) позволяют по ве­щественной частотной характеристике цепи однозначно опреде­лить ее временные характеристики.

Вещественную частотную характеристику цепи R(ω) можно рассчитать или определить экспериментально, определяя порознь амплитудно-частотную K(ω) и фазо-частотную φ(ω) характери­стики, так как R(ω)= К(ω)cosφ(ω). Если R(ω) задана графически, то временную характеристику цепи можно определить с помощью уравнения (17.45). Существует несколько методов определения временной характеристики цепи с помощью этого выражения, основанных на разных способах аппроксимации ее вещественной частотной характеристики. Наиболее известен метод трапёцеидаль-

ных характеристик В. В. Солодовникова, в основе которого лежит замена кривой К(ω) суммой трапецеидальных характеристик.

Частотные и временные характеристики цепи взаимосвязаны. Изменение частотных характеристик всегда влечет за собой изме­нение временных характеристик, и наоборот. В качестве примера рассмотрим пропорциональное сжатие частотных характеристик по частоте. Этому соответствует изменение масштаба частоты. Подставив в выражение (17.40) K(jα_ω) вместо K(jω), получим

Заменив в этом выражении α_ω на Ω и возвращаясь вновь к пе­ременной ω, найдем

Сравнивая полученное выражение с (17.40), отмечаем, что

т. е. сжатию частотных характеристик по оси частот соответствует растяжение во столько же раз временной характеристики вдоль оси времени, и наоборот. Это вполне согласуется с выводом о связи между реакцией цепи и шириной ее полосы пропускания: чем уже полоса пропускания, тем медленнее протекают процессы.

Пример 17.8.

Найти комплексный коэффициент передачи простой дифференцирующей rC-цепи, если известна ее переходная характеристика .

Решение. 1. Импульсная характеристика цепи:

2. Комплексный коэффициент передачи:

Полученный результат совпадает с приведенным ранее выражением (6.42).