17.5. Прохождение сигналов через идеальную линейную цепь с ограниченной полосой пропускания

Рассмотрим влияние ограничения полосы пропускания цепи на прохождение сигналов на примере идеального фильтра нижних частот. Такая цепь обладает идеальными характеристиками (17.15), но в ограниченном диапазоне частот (рис. 17.6):

Через такую систему все гармоники спектра с частотами ниже

ч астоты среза <о₀ будут проходить без изменения амплитуд и со сдвигом фаз, пропорциональным частоте. Гармоники с частотами выше ω_C не будут пропускаться, что должно привести к изменению спектра и формы сигнала на выходе. Степень искажения сигнала будет определяться долей отсечен­ной части спектра, зависящей от ширины полосы пропускания си­стемы.

Заметим, что фильтр с указан­ными идеальными характеристи­ками не может быть реализован практически, так как его комплекс­ная функция (17.16) не удовлетво­ряет условиям физической реали­зуемости. Тем не менее подобная идеализация удобна, так как позво­ляет значительно упростить анализ

и выделить наиболее существенные особенности протекающих всистеме явлений.

В качестве входного сигнала при рассмотрении процессов.

удобно выбрать типовые воздействия вида δ(t) и 1(t)-функций,

17.5.1. Воздействие дельта-функции

Как известно, дельта-функция Дирака характеризуется беско­нечно широким спектром,, а ее спектральная плотность SuxO'--.) = 1. При прохождении через систему с ограниченной полосой пропуска­ния спектр такого сигнала будет ограничен частотой среза. Вы-

ходной сигнал, соответствующий этому спектру и представляющий импульсную временную характеристику системы, согласно выра­жению (17.12)

Эта функция (рис. 17.7) имеет максимальное значение при t=t₀, равное . В стороне от максимума в точках w_c(t— to)=±kπ, т. е. при , она имеет нулевые значе­ния. Значения этой функции при разных аргументах можно опре­делить с помощью кривой (см. рис. 15.5) или таблиц.

Основная часть сигнала определяется главной аркой спектра и имеет ширину . Характерно, что произведение

. (17.18)

Из графика (см. рис. 17.7) следует, что выходной сигнал за­паздывает на время t₀, равное угловому коэффициенту ФЧХ цепи, а отсечение высокочастотной части спектра привело к тому, что выходной сигнал в отличие от входного имеет конечную длитель­ность t_И и конечную амплитуду . С увеличением частоты среза ω_с, т. е. по мере расширения полосы пропускания системы, искаже­ния уменьшаются: при ω_C длительность , а амплитуда

, что в пределе дает δ(t)-функцию, действующую на входе.

Из полученных соотношений и графика можно предположить, что реакция цепи возникает при t<0, т. е. до воздействия 8(0; функции на входе. Этот парадокс является следствием принятой вначале идеализации в отношении характеристик цепи.

17.5.2. Воздействие единичной ступенчатой функции

Реакция цепи на единичную ступенчатую функцию представ­ляет не что иное, как переходную временную характеристику си­стемы. Поэтому реакцию цепи в данном случае удобно найти с по­мощью формулы (14.20) как интеграл от импульсной характери­стики (17.17):

Полученный интеграл можно выразить через табулированный интегральный синус (рис. 17.8,а):

для которого характерно соотношение

Учитывая это, из уравнения (17.19) находим

Реакция цепи имеет вид графика смещенного интегрального синуса (рис. 17.8,6). Характерным для нее является значение крутизны фронта (скорости нарастания) при t=t₀. Как следует из выражения (17.19), эта величина равна

В то же время, обращаясь к рис. 17.8,6, ее можно выразить как

где t_Ф — длительность фронта.

Приравнивая правые части этих выражений, получим

(17.25)

Это позволяет сделать вывод: чем уже полоса пропускания системы, тем медленнее нарастает сигнал на выходе. Характерно, что произведение

. (17.26)

Из графика (см. рис. 17.8,6) также следует, что сигнал на вы­ходе запаздывает на время t₀, определяемое наклоном ФЧХ цепи, а отсечение высокочастотной части спектра приводит к тому, что выходной сигнал в отличие от входного имеет конечную длительность фронта . По мере расширения полосы пропускания иска-

жения уменьшаются: при длительность фронта и в пределе приходим к 1(t) -функции, действующей на входе.

Рассмотренные примеры прохождения 1 (t) и δ(t)-функций че­рез систему с ограниченной полосой пропускания позволяют сде­лать важные выводы о соотношениях между длительностью им-

пульса, длительностью его фронта и шириной полосы пропускания, требуемой для его прохождения через систему:

}

длительность фронта X требуемая ширина по­лосы пропускания = const;

длительность импульса X требуемая ширина полосы пропускания = const.

Ширина полосы пропускания системы, требуемая для неиска­женной передачи импульса, обратно пропорциональна его длитель­ности и длительности его фронта. Отсюда следует, в частности, важный для радиолокации и техники связи вывод: передача и прием информации импульсами малой длительности требуют уве­личения полосы пропускания радиоканала. По.с расширением по­лосы пропускания растет влияние помех. Это требует при выборе оптимальных параметров системы учета влияния обоих факторов.

Пример 17.5.

Рассчитать изменения фронтов прямоугольного видеоимпульса с длитель­ностью t_и при его прохождении через идеальную систему с полосой пропуска­ния, ограниченной частотой среза ω_c.

Решение.

Любой прямоугольный видеоимпульс (рис. 17.9, α) можно представить на­ложением двух ступенчатых функций, сдвинутых одна относительно другой на время, равное его длительности t_и.

Учитывая выражение (17.22), сигнал на выходе такой системы (рис. 17.9,6) найдем в соответствии с принципом наложения:

Длительность его фронта t··, определяется формулой (17.25) и зависит от того, какая часть спектра входного сигнала проходит через систему. При по­лосе пропускания, соответствующей ширине главной арки его спектра, т. е. при , длительность фронтов составит

Если же она соответствует ширине k арок спектра, т. е. ,

тo

Пример 17.6.

Рассчитать в общем виде прохождение прямоугольного радиоимпульса через идеальный полосовой фильтр (ПФ) с полосой пропускания, ограниченной часто­тами .

Решение.

Известно, что при воздействии прямоугольного видеоимпульса f_BX1<0 на идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза ω_с (см. рис. 17.6) сигнал на выходе f_BЫX1(t) определяется формулой (17.27). Его спектральная плотность

где K₁(jω) — комплексный коэффициент передачи идеального ФНЧ;

S_BX1(t)—спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса.

В соответствии с теоремой о модуляции (табл. 16.1), если

что представляет произведение комплексного коэффициента передачи K(jω) идеального ПФ, образованного смещением по оси частот коэффициента пере­дачи К₁(jω) идеального ФНЧ в обе стороны от начала координат на величину ±ω_H, на спектральную плотность прямоугольного радиоимпульса, образованную аналогичным смешением по частоте спектральной плотности прямоугольного видеоимпульса, умноженной на ¹/₂ (рис. 17.10). В уравнении (17.29) учтено, что

Отсюда следует, что выражения (17.28) и (17.29) описывают реакцию идеального ПФ на воздействие прямоугольного радиоимпульса:

Таким образом, огибающая сигнала на выходе ПФ при воздействии прямо­угольного радиоимпульса (рис. 17.11) определяется огибающей сигнала на вы­ходе ФНЧ при воздействии на его вход прямоугольного видеоимпульса. Этот вывод можно распространить и на случай других радиоимпульсов, сформули­ровав теорему об огибающей,