16.5. Распределение энергии в спектре. Энергетический спектр и эффективная ширина спектра

Чтобы оценить распределение энергии непериодических сигна­лов, как и в случае периодических сигналов, считают, что она вы­деляется в сопротивлении r=l Ом.

Для определения энергии непериодических колебаний, выде­ляемой в таком сопротивлении, используем выражение колебания через его спектральную плотность (16.4):

Изменив порядок интегрирования в правой части:

и учитывая, что выражение в квадратных скобках является со­пряженной спектральной плотностью функ­ции ƒ(t), получаем

так как

Полученное выражение (16.55) представляет теорему Релея, аналогичную равенству Парсеваля (15.19). Оно позволяет опре­делить энергию колебания через его спектральную плотность.

Так как S[(ω)]² — четная функция, то в выражении (16.55)

Из формулы (16.55) следует, что квадрат модуля спектраль­ной плотности, т. е. функция [S(ω)]², характеризует распределение энергии в спектре колебания f(t). Поэтому функция [S(ω)]² назы­вается его энергетическим спектром.

Под эффективной шириной спектра понимают диапазон частот, в пределах которого распределена основная часть энергии коле­бания (обычно 90%). Например, в случае одиночного прямоуголь­ного видеоимпульса около 90% полной энергии сигнала сосредо­точено в первом лепестке спектра (полоса частот от 0 до ). При этом чем короче импульс, тем шире полоса частот, в которой сосредоточена основная доля сигнала. Отсюда идет название «ширина спектра».

Пример 16.1.

Рассчитать энергию, распределенную в спектре одиночного прямоугольного видеоимпульса (см. рис. 16.1). Решение. Подстановкой выражения (16.20) в формулу (16.55) находим

так как

Пример 16.2.

Рассчитать энергию одиночного прямоугольного радиоимпульса (cм. рис. 16.3).

Решение.

Расчет проведем с помощью теоремы Релея (16.55). Для этого используем аналитическое представление радиоимпульса (16.22) и выражение (16.23) для его спектральной плотности.

В первом случае подстановкой выражения (16.22) в формулу (16.55) на­ходим

так как обычно

Во втором случае этот же результат получим подстановкой выражения (16.23) в формулу (16.55) с учетом равенств (16.24), (16.25) и (16.58):

В связи с широким применением радиоимпульсов на этом примере следует остановиться подробнее. Квадрат модуля спектральной плотности радиоим­пульса — четная функция. Однако если ее подставить непосредственно в виде выражения (16.23) в интеграл (16.56) с пределами интегрирования от 0 до или от — до 0, то одно из слагаемых в выражении (16.23) не будет учтено, что приведет к ошибке.

17. СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПРОХОЖДЕНИЯ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ

17.1. ПОНЯТИЕ ОБ ИСКАЖЕНИИ СИГНАЛОВ

ПРИ ИХ ПРОХОЖДЕНИИ ЧЕРЕЗ ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ.

СУЩНОСТЬ СПЕКТРАЛЬНОГО МЕТОДА

При прохождении через радиотехнические цепи и системы сиг­налы претерпевают различные изменения: сигнал, действующий на выходе устройства, отличается от сигнала на входе. Выходным сигналом является реакция цепи на действие входного сигнала. Под действием различных сигналов в системе возникают переход­ные процессы, оказывающие существенное влияние на характер ее реакции. В отличие от задач электротехники, в которых инте­ресуются установлением режима при различных коммутациях, в радиотехнике, радиолокации, импульсной технике основное зна­чение имеет влияние переходных процессов на форму сигнала. В радиотехнических системах это в итоге определяет влияние си­стемы на содержащуюся в сигнале информацию. Искажениями называют такие изменения сигнала, которые приводят к наруше­нию заключенной в нем информации. В радиотехнике задача ис­следования процессов в системе чаще формулируется как задача исследования особенностей прохождения сигналов через цепи.

Подобные задачи могут быть решены различными путями: классическим или операторным методом анализа переходных про­цессов; методом наложения с использованием временных харак­теристик цепи — методом интеграла свертки; методом наложения с использованием частотных характеристик цепи и воздействую­щих сигналов — частотным или спектральным методом.

Суть спектрального метода заключается в следующем. Сигнал, воздействующий на цепь, представляется в виде совокупности гармонических воздействий, приложенных к цепи задолго до мо­мента наблюдения, т. е. действующих на интервале времени . При этом сигнал, появляющийся на выходе цепи, в соответствии с принципом наложения определяется как сумма гармонических реакций, вызываемых каждой из гармонических составляющих входного сигнала в отдельности. Таким образом,

задача, по сути, сводится к анализу установившихся режимов в цепи при синусоидальном воздействии. Значения гармонических составляющих выходного сигнала легко находятся, если известны спектр входного сигнала и частотные характеристики цепи.

Так как в основе спектрального метода лежит принцип нало­жения, такой метод является линейным, он справедлив для реше­ния линейных задач, задач анализа прохождения сигналов через линейные цепи. С другой стороны, частотные характеристики ли­нейной .цепи находят, как известно, для цепей, не содержащих на­чальных запасов энергии и независимых источников энергии. По­этому применение спектрального метода ограничивается кругом именно такого вида цепей. Тем не менее к этому случаю можно свести решение большинства практических задач.

Если цепь содержит независимые источники или начальные за­пасы энергии, то их влияние на процессы учитывается отдельно, например классическим или операторным методом. Для этого вну­тренняя э. д. с. источника входного сигнала принимается равной нулю, учитывается лишь его внутреннее сопротивление, а воздей­ствием считаются заряд емкости или ток в индуктивности, учиты­вающие запасы энергии и независимые источники энергии.

Анализ прохождения сигналов спектральным методом может быть проведен как в области вещественных величин, так и с ис­пользованием плоскости комплексных величин. Более удобным является использование комплексной плоскости.