16.2. Спектры непериодических сигналов

16.2.1. Прямоугольный видеоимпульс

Пусть импульс u(t) сдвинут относительно начала координат на отрезок времени t₀ (рис. 16.1). Аналитически его можно пред­ставить в виде

где t_И—длительность импульса.

Спектральную плотность сигнала находим с помощью прямого преобразования Фурье (16.3):

где k=1, 2, 3,… — номер арки.

Отсюда получаем выражения для АЧС и ФЧС сигнала:

Характер АЧС существенно зависит от длительности импульса и не связан с его сдвигом во времени. ФЧС, наоборот, опреде­ляется сдвигом импульса и не зависит от его длительности. Гра­фики АЧС и ФЧС прямоугольного видеоимпульса представлены на рис. 16,2, а и б. Они совпадают с огибающими спектров пе­риодической последовательности таких же импульсов (см. рис. 15.6 и 15.8).

16.2.2. Прямоугольный радиоимпульс

Рассмотрим одиночный прямоугольный радиоимпульс (рис. 16.3). Колебания подобного вида имеют большое практическое значение и широко применяются в радиолокации. Пусть

где ω_н—частота несущего колебания.

Т акой импульс можно рассматривать как произведение модуляционной функции вида прямоугольного одиночного видеоим­пульса (16.18) и несущего косинусоидального колебания частоты ω_н.

Зная спектральную плотность модуляци­онной функции (16.19) и используя свой­ство преобразования Фурье — свойство ум­ножения функции времени на косинус (теорема о модуляции) (табл. 16.1):

находим спектральную плотность радиоимпульса (см. рис. 16.3)

Она представляет спектральные характеристики сигнала на комплексной плоскости, т. е. в диапазоне частот от до . Исследуя полученное выражение в этом диапазоне, отметим, что модуль S(ω) имеет наибольшее значение в районе частот , и . Объясняется это тем, что знаменатель одной из дробей в квадратной скобке делается в районе этих частот относительно малой величиной: при вторая дробь значительно меньше первой, а при , наоборот, первая дробь значительно меньше второй.

Таким образом, выражение (16.23) для спектральной плотности прямоугольного радиоимпульса в области положительных частот достаточно точно описывается первой дробью, а в области отри­цательных частот — второй дробью. Поэтому можно приближенно записать:

для положительных частот:

для отрицательных частот:

Спектры прямоугольного радиоимпульса представлены на рис. 16.4. Они практически отличаются от спектров прямоуголь­ного видеоимпульса лишь смещением по оси частот на величину он и уменьшением вдвое модуля спектральной функции.

16.2.3. Колоколообразный импульс

Для колоколообразного или «гауссова» импульса (рис. 16.5)

(16.26)

где α — постоянная, определяющая длительность импульса.

Па основании формулы (16.3) спектральная плотность такого импульса

Для вычисления интеграла преобразуем показатель степени:

Произведя замену переменных , пoлучим

так как —интеграл Лапласа.

Ввиду четности функции (16.26) спектр получился веществен­ным, причем, как и сам импульс, он имеет колоколообразную форму (рис. 16.6).

Колоколообразный импульс широко используется в теории сиг­налов, поскольку он и его спектр выражаются одинаковыми функ­циями и обладают свойством симметрии: чтобы получить одну из этих функций по заданной другой, достаточно заменить t на ω. Исключительно большое практическое значение импульса колоколообразной формы объясняется минимальным значением произ­ведения . Это значит, что по сравнению с импульсами дру­гой формы колоколообразный импульс той же длительности имеет наименьшую ширину спектра и поэтому более помехоустойчив. При энергетическом способе определения и для колоколообразного импульса .

16.2.4. Экспоненциальный импульс

Для экспоненциального импульса (рис. 16.7)

находим

Отсюда следует, что

Графики этих функций приведены на рис. 16.8. Спектры рассмотренных и некоторых других импульсов сведены в табл. 162,

16.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И СПЕКТР

ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ И ЕДИНИЧНОЙ

СТУПЕНЧАТОЙ ФУНКЦИИ

Для многих часто применяемых функций (например, дельта-функция, единичная ступенчатая функция, cosω₀t, sinω₀t и др.) преобразования Фурье, к сожалению, не существуют в обычном смысле. Тем не менее удобно обобщить технику лреобразований Фурье и на эти функции.

Учитывая выражения (14.12), с помощью формулы (16.3) на­ходим спектральную плотность дельта-функции (рис. 16.9, а)

Таким образом, δ(t)-функции соответствует равномерно рас­пределенная спектральная плотность, спектр такой функции имеет бесконечно большую ширину (рис. 16.9,6).

Заметим теперь, что на основании свойства частотно-временной двойственности или дуальности преобразований Фурье, если спект­ром δ(t)-функции является S(jω) =S(ω) = 1, то спектром функции S(t)=l будет 2πδ(ω) (рис. 16.10). Действительно, обратное преоб­разование Фурье от единицы (S(jω) = l) может быть записано как

Взаимной заменой переменных t и ω получаем

Заменив в этом выражении ω на -ω и учитывая, что δ(ω) = - δ(—ω), так как δ(ω)—четная функция, находим

Это выражение известно как лемма Римана — Лебега. Хотя оно получено не совсем формализованно, существует его строгое доказательство.

Таким образом, спектральная функция постоянной величины, равной единице, есть δ-функция с площадью, равной 2π, взятая в частотной области (см. рис. 16.10).

Спектральная плотность любой постоянной α будет в а раз больше:

F [а] = 2 πаδ(ω). (16.36)

Спектр постоянной бесконечно узок, он расположен в районе частоты ω=0 и имеет бесконечно малую ширину, стремящуюся к нулю,

Используя полученные соотношения, можно найти преобразования Фурье и спектральную плотность гармонических функций cosω₀t и sinω₀t. Для этого достаточно использовать свойство преобразований Фурье — умножение функции времени на косинус или синус (теорема о модуляции) (табл. 16.1), учитывая выражение (16.36);

Спектр функций U_m cosω₀t и U_m sinω₀t, так же как и постоянной величины, бесконечно узок, его ширина бесконечно мала. Но в отличие от спектра по­стоянной он сосредоточен в районе частот ω=ω₀ и ω= -ω₀ (рис. 16.11). Нали-

чие здесь двух частот: положительной и отрицательной — объясняется особен­ностью представления синусоидальных колебаний на плоскости комплексных величин.

Единичная ступенчатая функция (рис. 16..12,а) не является абсолютно интегрируемой (ее площадь не имеет конечного значе­ния). Поэтому попытка непосредственного применения преобразо­вания Фурье для нахождения спектральной плотности такой функ­ции приводит к расходящемуся интегралу, который, строго говоря (если пользоваться обычными определениями и правилами мате­матики), вычислить нельзя.

Однако стремление распространить спектральный метод, ши­роко применяемый для решения многих технических и физических задач, на рассмотрение единичных скачков приводит к попыткам

обойти возникающую при этом трудность различными приемами, которые часто приводят к неверному результату. Например, пред­ставляя 1(t) как предел (при ) от экспоненциального им­пульса, получают

что не соответствует истине, так как найденная таким образом спектральная плотность соответствует не исходной функции l(t), а функции, отличающейся от нее на постоянную составляющую ¹/₂ (рис. 16.12,6).

Известно, что . Однако, с другой стороны, в более общем случае можно записать, что

где а — произвольная постоянная.

Прямое преобразование Фурье от левой и правой части этого выражения

с учетом теоремы дифференцирования дает

где S_δ(jω) = 1; S₁(jω) и S_a(jω) = 2πaδ(ω)— спектральная плот­ность соответственно δ(t) -функции, единичной ступенчатой функ­ции и постоянной а.

Отсюда

Найдем постоянную а в этом выражении. Обратное преобра­зование Фурье от его левой и правой части дает -

Здесь

Кроме того, известно, что

Учитывая это, а также то, что при t<0 l(t)=0, из выражения (16.43) получаем, , что после подстановки в формулу

(16.42) дает

Здесь первое слагаемое есть спектральная плотность пе­ременной составляющей функции 1(t), а второе —спектраль­ная плотность ее постоянной составляющей. Спектральные харак­теристики переменной составляющей

представлены на рис. 16.13.