18.6. Минимально-фазовые и неминимально-фазовые цепи

При решении задачи синтеза электрической цепи по ее задан­ной амплитудно-частотной характеристике X(ω) используют зави­симость между этой характеристикой и операторной передаточной функцией цепи К(р).

Для установления этой зависимости представим квадрат ам­плитудно-частотной характеристики K²(ω) в виде

Для значений р, расположенных на оси jω, т. е. при jω=p, по­лучим

F(-p²) = К (р)К(-p). (18.53)

Эта функция, так же как и квадрат амплитудно-частотной ха­рактеристики К²(ω), является четной рациональной функцией. Полиномы ее числителя и знаменателя являются четными поли­номами переменного р с вещественными коэффициентами. Так как нули четных полиномов располагаются симметрично относи­тельно мнимой оси, а нули полиномов с вещественными коэффи­циентами — симметрично относительно вещественной оси, то нули и полюсы функции F(—р²) располагаются на комплексной пло­скости симметрично относительно ее координатных осей, т. е. на­ходятся в квадрантной симметрии.

Это свойство нулей и полюса функции F(—р²) позволяет найти выражение для операторной передаточной функции элек­трической цепи К(р) по ее заданной амплитудно-частотной харак­теристике. Для этого необходимо в выражении для К²(ω) заме­нить ω² на —р², найти нули и полюсы функции F(—р²) и распре­делить их поровну между К(р) и K(-р). При этом нее полюсы F(—р²), находящиеся в левой полуплоскости, для пассивной элек­трической цепи следует отнести к К(р), а все полюсы, находя­щиеся в правой полуплоскости, — к К(—р). Так как на располо­жение нулей передаточных функций пассивных электрических

цепей никаких ограничений не накладывалось, то нули F(—p²) следует распределить поровну между К(р) и K(—р).

Пример 18.5,

Найти выражение для передаточной функции электрической цепи, если квадрат ее амплитудно-частотной характеристики имеет вид

K²(ω) = (ω² + 1 )/(ω⁴ + 4).

Решение.

Произведя замену ω=-р², из К²(ω) получим функцию

F=(-p²) = (-p²+1)/(p⁴+ 4).

Разложив числитель и знаменатель эгой функции на простые множители, получим

F(-p²) = (p+1)(p+1)/(p² + 2Р + 2)(p² -2p+ 2).

Из этой функции находим

и

или

и К .

Из рассмотренного примера видно, что одну и ту же ампли-тудно-частотную характеристику могут иметь электрические цепи с разными передаточными функциями, что обусловлено произ­вольностью выбора нулей передаточной функции.

Если все нули передаточной функции электрической цепи рас­положены только в левой полуплоскости, то такую цепь назы­вают минимально-фазовой цепью. Если все или часть нулей пере­даточной функции электрической цепи расположены в правой полуплоскости, то такую цепь называют неминимально-фазовой.

Примером неминимально-фазовой цепи является четырехполюс­ник с операторной передаточной функцией

K(p) = V(-p)/V(p), (18.54)

где V(p) —полином Гурвица, все нули которого расположены в левой полуплоскости;

V(—р)—сопряженный полином Гурвица, все нули которого имеют знаки, противоположные знакам нулей поли­нома Гурвица, т. е. расположены в правой полупло­скости, являясь зеркальным отображением нулей по­линома Гурвица.

Четырехполюсник с передаточной функцией (18.54) обычно называют фазовым контуром. Так как

и ,

то комплексная передаточная функция фазового контура будет иметь вид

, (18.55)

где —аргумент комплекса полинома Гурвица,

Из уравнения (18.55) видно, что амплитудно-частотная харак­теристика фазового контура не зависит от частоты и равна единице, а фазо-частотная характеристика, равная — , моно­тонно убывает с ростом частоты, так как аргумент комплекса юлинома Гурвица монотонно возрастает с ростом ω.

П римером фазового контура является электрическая цепь, схема которой при­ведена на рис. 18.14.

Передаточная функция этой цепи по напряжению имеет вид

а амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики опреде­ляются выражениями:

Если нули передаточной функции находятся как в левой, так и в правой полуплоскостях, то передаточную функцию можно представить в виде

где W₀ (р) — полином, не имеющий нулей в правой полуплоско­сти;

ψ(-p)— полином, сопряженный полиному Гурвица ψ(ρ),

имеющий все нули в правой полуплоскости.

Если в выражении (18.56) ψ(—р) заменить на ψ(ρ), то полу­чим передаточную функцию цепи минимально-фазового типа

При p=jω множители ψ(jω) и ψ(—jω) имеют равные модули, так как они образуют пару комплексно-сопряженных величин.

Поэтому

|K₁(jω)|=|K₂(jω)|.

Следовательно, любую неминимально-фазовую цепь всегда можно сопоставить с минимально-фазовой цепью с той же ампли­тудно-частотной характеристикой.

Передаточную функцию неминимально-фазовой цепи K₁(p) можно представить в виде

где К₃(р)=ψ(—p)/ω(p)—передаточная функция фазового кон­тура;

K₂(р)—передаточная функция минимально-фазовой цепи,

Следовательно, передаточную функцию неминимально-фазовой цепи можно рассматривать как произведение передаточной функ­ции минимально-фазовой цепи с той же амплитудно-частотной ха­рактеристикой и передаточной функции фазового контура.

Из выражения (18.58) следует, что

.

Так как фазо-частотная характеристика фазового контура отрицательна, то из этого выражения следует, что ми­нимально-фазовая цепь из всех цепей, имеющих одинаковые ам­плитудно-частотные характеристики, имеет на любой частоте мень­шее запаздывание по фазе, чем неминимально-фазовая цепь. С этим связано и название минимально-фазовых и неминимально-фазовых цепей.

Характерной особенностью минимально-фазовых электрических цепей является однозначная связь между их амплитудно-частот­ными и фазо-частотными характеристиками. Так, получив по ам­плитудно-частотной характеристике минимально-фазовой цепи ее передаточную функцию и определив ее аргумент, получим фазо-частотную характеристику рассматриваемой цепи, т. е. по ампли­тудно-частотной характеристике минимально-фазовой электриче­ской цепи можно однозначно получить ее фазо-частотную харак­теристику. И наоборот, по фазо-частотной характеристике мини­мально-фазовой электрической цепи можно однозначно найти ее амплитудно-частотную характеристику.

Существуют соотношения, с помощью которых можно по одной из частотных характеристик минимально-фазовой цепи непосред­ственно найти вторую характеристику [47].

Наличие жесткой связи между амплитудно-частотными и фазо-частотными характеристиками минимально-фазовых электрических цепей следует учитывать в задачах синтеза электрических цепей, когда по условиям задачи предъявляются требования одновре­менно к обеим характеристикам.