- •Jak korzystać z książki?
- •Rozdział I klasyczny rachunek zdań.
- •1.1. Schematy zdań.
- •1.1.1. Łyk teorii.
- •1.1.2. Praktyka: budowaNie schematÓw zdań języka naturalnego.
- •1.1.3. Utrudnienia I pułapki.
- •W arto zapamiętać!
- •1.1.4. Często zadawane pytania.
- •1.2.1. Łyk teorii.
- •Koniunkcja
- •Alternatywa
- •1.2. Tabelki zero-jedynkowe I ich zastosowanie.
- •Implikacja
- •Równoważność
- •1.2.2. Praktyka: zastosowanie tabelek.
- •1.3. Tautologie I kontrtautologie.
- •1 .3.1. Łyk teorii.
- •1.3.2. Praktyka: sprawdzanie statusu formuł.
- •1.4. Skrócona metoda zerojedynkowa.
- •1 .4.1. Łyk teorii.
- •Ogólna idea metody skróconej.
- •1.4.2. Praktyka: wykorzystanie metody skróconej.
- •1.4.3. Utrudnienia I pułapki.
- •Dwie możliwości od samego początku.
- •1.4.4. Kontrtautologie.
- •1 .4.5. Często zadawane pytania.
- •1.5. Prawda logiczna I zdania wewnętrznie sprzeczne.
- •1 .5.1. Łyk teorii.
- •1.5.2. Praktyka: sprawdzanie, czy zdanie jest prawdą logiczną lub fałszem logicznym.
- •1.6. Wynikanie logiczne.
- •1 .6.1. Łyk teorii.
- •1.6.2. Praktyka: sprawdzanie, czy z jednego zdania wynika drugie.
- •1.6.3. Wykorzystanie pojęcia tautologii.
- •1.7. Wnioskowania.
- •1 .7.1. Łyk teorii.
- •1.7.2. Praktyka: sprawdzanie poprawności wnioskowań.
- •1.7.3. Wykorzystanie pojęcia tautologii.
- •1 .7.4. Często zadawane pytania. Czym wnioskowanie różni się od wynikania?
- •Rozdział II sylogistyka.
- •2.1. Schematy zdań.
- •2.1.1. Łyk teorii.
- •2.1.2. Praktyka: zapisywanie schematów zdań.
- •2.1.3. Utrudnienia I pułapki.
- •2.1.4. Często zadawanie pytania.
- •2.2. Sprawdzanie poprawności sylogizmów metodą diagramów venna.
- •2.2.1. Łyk teorii.
- •2.2.2. Praktyka: zastosowanie diagramów venna.
- •2.2.3. Utrudnienia I pułapki.
- •2 .2.4. Często zadawane pytania.
- •2.3. Sprawdzanie poprawności sylogizmów przy pomocy metody 5 reguł.
- •2.3.1. Łyk teorii.
- •2.3.2. Praktyka: zastosowani metody 5 reguł.
- •2.4. Kwadrat logiczny.
- •2 .4.1. Łyk teorii.
- •2.4.2. Praktyka: wykorzystanie kwadratu logicznego.
- •2.5. Inne prawa wnioskowania bezpośredniego.
- •2.5.1. Łyk teorii.
- •2.5.2. Praktyka: zastosowanie praw wnioskowania bezpośredniego.
- •Klasyczny rachunek predykatów.
- •3.1. Schematy zdań.
- •I znowu „tylko”...
- •3.3. Tautologie I kontrtautologie.
- •3.4. Reguły w rachunku predykatów.
- •3.4.2. Praktyka: wykazywanie zawodności reguł.
- •Słowniczek
- •Rozdział IV nazwy I definicje.
- •4.1. Nazwy I ich rodzaje.
- •4.1.1. Łyk teorii.
- •1. Podział ze względu na ilość desygnatów.
- •2. Podział ze względu na sposób istnienia desygnatów.
- •3. Podział ze względu na sposób wskazywania desygnatów.
- •4. Podział ze względu na jednoznaczność (ostrość) zakresu.
- •4.1.2. Praktyka: Klasyfikowanie nazw.
- •4 .1.3. Utrudnienia I pułapki.
- •4.2. Stosunki między nazwami.
- •4.2.1. Łyk teorii.
- •4.2.2. Praktyka: Sprawdzanie zależności między nazwami.
- •4.2.3. Praktyka: zastosowanie diagramów venna.
- •4.2.4. Praktyka: Dobieranie innych nazw do nazwy podanej.
- •4.3. Definicje.
- •4.3.1. Łyk teorii.
- •4.3.2. Praktyka: Badanie poprawności definicji sprawozdawczych.
- •4.3.3. Utrudnienia I pułapki.
- •Rozdział V zbiory.
- •5.1. Podstawowe wiadomości o zbiorach.
- •5.1.1. Łyk teorii.
- •5.2. Stosunki między zbiorami.
- •5.2.1. Łyk teorii.
- •Identyczność.
- •Inkluzja (zawieranie się zbiorów).
- •5.2.2. Praktyka: określanie zależności między zbiorami.
- •5.2.3. Utrudnienia I pułapki.
- •5.3. Działania na zbiorach.
- •5.3.1. Łyk teorii.
- •Iloczyn.
- •5.3.2. Praktyka: wykonywanie działań na zbiorach.
- •5.4. Prawa rachunku zbiorów typu bezzałożeniowego.
- •5.4.1. Łyk teorii.
- •5.4.2. Praktyka: wykrywanie praw rachunku zbiorów przy pomocy rachunku zdań.
- •5.5 Założeniowe prawa rachunku zbiorów.
- •5 .5.1. Łyk teorii.
- •5.5.2. Praktyka: sprawdzanie praw teorii zbiorów przy pomocy diagramów venna.
- •5 .5.3. Utrudnienia I pułapki.
- •Rozdział VI relacje.
- •6.1. Co to jest relacja.
- •Iloczyn kartezjański.
- •6.2. Dziedziny I pole relacji.
- •6.2.1. Łyk teorii.
- •6.2.2. Praktyka: określanie dziedzin I pola relacji.
- •6.3. Własności formalne relacji.
- •6.3.1. Łyk teorii.
- •6.4. Działania na relacjach.
- •6.5. Zależności między relacjami.
- •6.5.3. Praktyka: dobieranie relacji będących w różnych stosunkach do podanej.
1.7.3. Wykorzystanie pojęcia tautologii.
Do sprawdzenia poprawności wnioskowania można również wykorzystać pojęcie tautologii, w podobny sposób, jak to czyniliśmy przy okazji sprawdzania, czy z jednego zdania wynika logicznie drugie zdanie. Twierdzenie o dedukcji mówi bowiem, że reguła jest niezawodna (a zatem oparte na niej wnioskowanie poprawne) gdy tautologią jest implikacja, której poprzednik stanowią połączone spójnikami koniunkcji przesłanki, a następnik – wniosek.
Przykład:
Zbadamy przy pomocy twierdzenia o dedukcji następujące wnioskowanie:
Jeżeli to nie Ted zastrzelił Billa, to zrobił to John. Jeśli zaś John nie zastrzelił Billa, to zrobił to Ted lub Mike. Ale Mike nie zastrzelił Billa. Zatem to Ted zastrzelił Billa.
Reguła na której opiera się wnioskowanie wygląda następująco:
~ p q, ~ q (p r), ~ r
––––––––––––––––––––––
p
Aby móc skorzystać z twierdzenia o dedukcji musimy zbudować implikację, której poprzednik będą stanowić połączone spójnikami koniunkcji przesłanki, a następnik – wniosek. Praktycznie czynimy to tak, że bierzemy w nawias pierwszą przesłankę, łączymy ją koniunkcją z wziętą w nawias drugą przesłanką, bierzemy powstałe wyrażenie w nawias i łączymy koniunkcją z wziętą w nawias trzecią przesłanką, następnie bierzemy wszystkie przesłanki w jeden największy nawias i łączymy to wyrażenie z wnioskiem przy pomocy symbolu implikacji:
{(~ p q) [ ~ q (p r)]} ~ r p
Następnie sprawdzamy, czy formuła ta jest tautologią. Ponieważ w powyższym schemacie mamy bardzo dużo nawiasów, trzeba to robić bardzo uważnie. Ważne jest, aby dobrze zlokalizować główny spójnik poprzednika implikacji:
{(~ p q) [ ~ q (p r)]} ~ r p
1 0 0
Ponieważ mamy prawdziwą koniunkcję, to prawdziwe muszę być oba jej człony – koniunkcja w nawiasie klamrowym oraz ~ r. Znowu mamy prawdziwą koniunkcję, z czego wnioskujemy o prawdziwości implikacji ~ p q oraz ~ q (p r). Wartości p i r możemy przepisać tam, gdzie zmienne te jeszcze występują:
{(~ p q) [ ~ q (p r)]} ~ r p
1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0
W pierwszym nawiasie mając prawdziwą implikację z prawdziwym poprzednikiem możemy obliczyć wartość q – 1. Po przepisaniu jej oraz obliczeniu wartości ~ q i alternatywy p r otrzymujemy:
{(~ p q) [ ~ q (p r)]} ~ r p
1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0
Przy takim podstawieniu symboli 0 i 1 w badanej formule nie występuje nigdzie sprzeczność. Formuła nie jest więc tautologią, z czego wnioskujemy, że reguła na której opiera się wnioskowanie jest zawodna, a samo wnioskowanie niepoprawne.
▲
Uwaga na błędy!
W powyższym przykładzie badaliśmy niezawodność (dedukcyjność) reguły korzystając z pojęcia tautologii. Nie wolno jednak mylić pojęć i mówić na przykład, że reguła jest (bądź nie jest) tautologią, albo że formuła jest (lub nie jest) dedukcyjna. Podkreślmy więc:
Tautologią może być (lub nie być) pojedyncza formuła.
Dedukcyjna (niezawodna) może być (lub nie być) reguła, czyli ciąg formuł.
Można badać dedukcyjność reguły korzystając z pojęcia tautologii, ale wtedy musimy najpierw zbudować odpowiednią formułę.