5.5 Założeniowe prawa rachunku zbiorów.

5 .5.1. Łyk teorii.

Przedstawiona w poprzednim paragrafie metoda nie nadaje się do sprawdzania wszystkich praw rachunku zbiorów. W przypadku praw mających postać implikacji, stwierdzających, że jeśli mają miejsce pewne zależności, to występuje również inna zależność, będziemy posługiwać się, znanymi już z rozdziału o sylogizmach, diagramami Venna. Osoby, które przy okazji przerabiania sylogistyki opanowały posługiwanie się diagramami, nie powinny mieć żadnych trudności ze zrozumieniem dalszego ciągu tego rozdziału, a wiele zawartych tu informacji i szczegółowych komentarzy wyda im się zbędnymi. Ponieważ jednak zapewne nie wszyscy czytelnicy obecnego rozdziału przerabiali wcześniej teorię sylogizmów, niektóre wiadomości odnośnie diagramów Venna będą się musiały powtarzać.

Diagramy Venna przybierają kształt kół symbolizujących zbiory, w które to koła wpisujemy znak „+”, gdy wiemy, że w danym obszarze na pewno znajduje się jakiś element lub „–”, gdy mamy pewność, że nic tam nie ma. Wypełniając diagramy musimy pamiętać, że wpisujemy znaki „+” lub „–” jedynie tam, gdzie wiemy, że na pewno coś jest lub na pewno nic nie ma. Jeśli w stosunku do jakiegoś obszaru nie mamy żadnych informacji, zostawiamy go pustym.

Poniżej przedstawimy sposoby zaznaczania na diagramach przykładowych zależności mogących występować w prawach rachunku zbiorów. Najpierw będziemy nanosić je na diagramy reprezentujące dwa zbiory, a następnie rozszerzymy nasze rozważania na diagramy składające się z trzech kół.

A )( B

Aby zaznaczyć, że zbiory A i B są rozłączne wpisujemy znak „–” w obszar reprezentujący część wspólną tych zbiorów. W części „boczne” nie wolno nam jednak wpisać „+”, bo nie mamy pewności, czy A lub B nie są przypadkiem zbiorami pustymi. Jedyne, co wiemy na pewno, to to, że, skoro A i B mają być rozłączne, to nie ma nic w ich części wspólnej.

~ (A )( B) lub A  B  

Fakt, że zbiory A i B nie są rozłączne lub, ujmując rzecz inaczej, ich iloczyn nie jest zbiorem pustym, oznaczamy wpisując znak „+” w część wspólną tych zbiorów.

A – B  

Fakt, że różnica zbiorów A i B nie jest zbiorem pustym, zaznaczamy wpisując „+” w część diagramu reprezentującą zbiór A – B, a więc obszar A leżący poza B.

A  B

Fakt, że zbiór A zawiera się w B zaznaczamy, wpisując „–” w obszar A znajdujący się poza B. Skoro bowiem A ma się zawierać w B, to żadna część A nie może „wystawać” poza B. W część wspólną, wbrew pozorom, nie możemy wpisać „+”, gdyż nie można wykluczyć, że A jest zbiorem pustym. Jedyne, co wiemy na pewno, to fakt, że nic nie ma w części A leżącej poza B.

A  B’

Jeśli zbiór A zawiera się w dopełnieniu B, to znaczy to, że cały A znajduje się poza B, a więc, że żadna część A nie może znajdować się w B. Oznacza to nic innego, jak rozłączność tych zbiorów.

Uwaga na błędy!

Najczęściej popełnianie błędy przy wypełnianiu diagramów Venna polegają na wpisywaniu znaków „+” tam, gdzie nie możemy ich wpisać z uwagi na to, że nie można wykluczyć, iż rozpatrywany zbiór jest pusty. Dobrze zatem zapamiętać, że zaznaczając inkluzję oraz rozłączność zbiorów nigdy nie wpisujemy żadnych plusów. Stosunki te oddajmy jedynie przy pomocy minusów.

A # B

To, że zbiory się krzyżują, oznacza, że na pewno coś znajduje się w ich części wspólnej, a także na pewno jest coś w części A leżącej poza B oraz części B leżącej poza A.

Teraz kilka przykładowych zależności między zbiorami przedstawimy na diagramach reprezentujących trzy zbiory.

A  B

Jeśli zbiór A zawiera się w B, oznacza to, że A „nie wystaje” poza B. Pusta musi być zatem część A leżąca poza B. Obszar ten składa się teraz jednak z dwóch kawałków. Ponieważ ma on być cały pusty, musimy postawić „–” w każdej jego części.

A’  B  

Część wspólna dopełnienia zbioru A oraz zbioru B, to ten obszar B, który znajduje się poza A – prawy półksiężyc zbioru B. Musimy przedstawić fakt, że część ta nie jest pusta. Ponieważ obszar ten składa się z dwóch części, ktoś mógłby pomyśleć, że w obie te części musimy wpisać znak „+”. Tak jednak nie jest. Już jeden „+” w którymkolwiek, dolnym lub górnym kawałku rozważanego półksiężyca, sprawi, że iloczyn A’ oraz B nie będzie pusty. W związku z powyższym, nie mamy pewności, gdzie znak plusa postawić. Niepewność tę wyrazimy dodając znak zapytania przy każdym z plusów. Pytajniki te będą oznaczać, iż wiemy, że w którymś z rozważanych obszarów (a być może i w obydwu), coś się znajduje, jednak całkiem możliwe jest również, że jeden z nich jest pusty.

Uwaga na marginesie.

W praktyce, gdy będziemy wykorzystywali diagramy do rozwiązywania zadań, często będzie się zdarzać, że dysponując innymi informacjami, będziemy wiedzieli, który z „wątpliwych” plusów na pewno nie może wystąpić w danym miejscu. Wtedy drugi plus będziemy wpisywali „na pewno”, bez żadnego znaku zapytania. Dopóki jednak nie możemy żadnego z plusów wykluczyć, pytajniki muszą pozostać.

DO ZAPAMIĘTANIA:

Minusy są zawsze „pewne”. Wynika to z tego, że jeśli pusty jest jakiś obszar składający się z kilku części, to oczywiście pusta musi być każda z tych części; w każdą z nich możemy zatem wpisać minus.

Jeśli natomiast wiemy tylko, że w jakimś obszarze składającym się z kilku części coś się znajduje, to wcale nie daje nam to pewności, w której z tych części postawić plus. Jakiś element znajdować się może w dowolnej z nich.

Sytuację tę można przedstawić bardziej obrazowo. Jeśli wiemy, że w mieszkaniu składającym się z kilku pomieszczeń nie ma nikogo, to wiemy, że na pewno pusty jest pokój, kuchnia, łazienka itd. Jeśli natomiast dowiadujemy się, że w mieszkaniu tym ktoś jest, to informacja ta nie daje nam pewności, w którym pomieszczeniu osoba ta się znajduje. Być może pusta jest kuchnia i łazienka, a człowiek, o którym mowa, jest w pokoju, ale może też być zupełnie inaczej.

A  B  C’

To, że suma zbiorów A i B zawiera się w dopełnieniu C, oznacza, iż suma A i B znajduje się poza C, a zatem żadna część tej sumy nie może znajdować się w C. Musimy więc wpisać minusy we wszystkich częściach zbiorów A oraz B leżących jednocześnie w C.

A  B  C

To, że iloczyn A i B zawiera się w C, oznacza, że żadna część tego iloczynu (czyli części wspólnej A i B nie może znajdować się poza C. W praktyce daje to tylko jeden minus w „górnej” części iloczynu A i B.

Zobrazowane wyżej zależności pomiędzy zbiorami nie wyczerpują oczywiście wszystkich możliwych przypadków, jakie mogą pojawić się w zadaniach. Jednakże powinny one pozwolić na zrozumienie istoty posługiwania się diagramami i umożliwić każdemu samodzielne zaznaczenie nawet takich stosunków pomiędzy zbiorami, z jakimi się nigdy nie zetknął.