5.5.2. Praktyka: sprawdzanie praw teorii zbiorów przy pomocy diagramów venna.

Wyrażenia, które będziemy obecnie badali pod kątem tego, czy stanowią one prawa rachunku zbiorów, będą miały formę implikacji. Wykazanie, że implikacja taka stanowi ogólne prawo, będzie polegało na pokazaniu, że jest ona zawsze prawdziwa. Ponieważ implikacja, zgodnie z tabelkami zero-jedynkowymi, fałszywa jest tylko w jednym przypadku – gdy jej poprzednik jest prawdziwy a następnik fałszywy, to udowodnienie, że jest ona zawsze prawdziwa, polegać może na wykazaniu niemożliwości zajścia takiej sytuacji.

W praktyce będzie to wyglądało tak, że będziemy wpisywali do diagramu to, co mówi poprzednik implikacji, a następnie sprawdzali, czy gwarantuje nam to prawdziwość następnika. Jeśli bowiem wypełnienie diagramu według poprzednika implikacji zagwarantuje nam prawdziwość jej następnika, będzie stanowiło to dowód, że nie jest możliwa sytuacja, aby poprzednik był prawdziwy i następnik fałszywy, a zatem implikacja jest zawsze prawdziwa; przedstawia ona prawo rachunku zbiorów. Jeśli natomiast na diagramie będzie się dało przedstawić fałszywość następnika, będzie to świadczyć, że implikacja może być fałszywa, a więc nie opisuje ona ogólnie obowiązującego prawa.

Cała procedura w skrócie:

– wpisujemy do diagramu wszystkie informacje z poprzednika implikacji,

– nie wpisujemy informacji z następnika implikacji, a jedynie sprawdzamy, czy wykonany według poprzednika rysunek daje nam gwarancję ich prawdziwości,

– jeśli rysunek gwarantuje nam prawdziwość następnika, oznacza to, że badane wyrażenie jest prawem rachunku zbiorów; jeśli nie mamy takiej gwarancji (diagram da się wypełnić tak, aby następnik był fałszywy), wyrażenie nie jest prawem.

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawem rachunku zbiorów jest wyrażenie: (A  B  B  C)  A  C.

W poprzedniku naszej implikacji mamy dwie zależności. Najpierw zaznaczymy to, że zbiór A zawiera się w B (czyli A nie może „wystawać” poza B):

Teraz dopiszemy jeszcze, że B zawiera się w C:

Po zaznaczeniu na diagramie wszystkich informacji zawartych w poprzedniku musimy sprawdzić, czy gwarantuje nam to prawdziwość następnika. Widzimy, że faktycznie następnik musi być prawdziwy. Mamy pewność, że zbiór A zawiera się w C, gdyż w odpowiednim obszarze mamy minusy świadczące, że A nie może „wystawać” poza C; są to dwa minusy w „górnej” części zbioru A.

Skoro w badanym wyrażeniu, mającym postać implikacji, nie jest możliwe aby poprzednik był prawdziwy, a następnik fałszywy (mówiąc inaczej, prawdziwość poprzednika gwarantuje prawdziwość następnika), oznacza to, że wyrażenie to jest prawem rachunku zbiorów.

▲

Przykład:

Sprawdzimy, czy prawem rachunku zbiorów jest wyrażenie: ( A )( B  B )( C )  A )( C.

Po zaznaczeniu na diagramie informacji z obu członów poprzednika otrzymujemy rysunek:

Rysunek ten nie daje nam jednak gwarancji, że następnik jest prawdziwy. Aby mieć pewność, że zbiory A i C są rozłączne, musielibyśmy mieć minusy w całym obszarze wspólnym tych zbiorów. Tymczasem w jednej części tego obszaru nie ma żadnego znaku. Oznacza to, że nic nie stoi na przeszkodzie, aby coś tam mogło się znajdować. Poniższy rysunek pokazuje wyraźnie, że da się zaznaczyć na diagramie prawdziwość poprzednika implikacji i jednocześnie fałszywość jej następnika.

Badane wyrażenie nie jest zatem prawem rachunku zbiorów.

Powyższy rysunek stanowi graficzny kontrprzykład, pokazujący, że badana implikacja nie jest zawsze prawdziwa. Możemy również podać kontrprzykład „materialny” to znaczy wymyślić takie zbiory A, B i C, aby pokazać, że badane wyrażenie może być fałszywe. Mogą być to przykładowo takie zbiory: A – zbiór drzew liściastych, B – zbiór drzew iglastych, C – zbiór dębów. Prawdą jest, że A )( B oraz B )( C, natomiast A i C wcale rozłączne nie są.

▲