6.4. Działania na relacjach.

6.4.1. ŁYK TEORII.

W iemy, że każdą relację możemy przedstawić jako zbiór par. Ponieważ relacje są zbiorami (zbiorami par), możemy wykonywać na nich działania, jakie wykonywaliśmy na „zwykłych” zbiorach: sumę, iloczyn, różnicę i dopełnienie. W przypadku relacji możemy wykonywać też pewne specyficzne działania, z których poznamy tak zwany konwers relacji. Najpierw jednak zajmiemy się działaniami poznanymi w rozdziale poświęconym zbiorom.

Suma dwóch relacji to zbiór par należących do jednej lub do drugiej relacji. Na przykład sumą relacji bycia ojcem i relacji bycia matką jest relacja bycia rodzicem.

Iloczyn dwóch relacji to zbiór par należących jednocześnie do jednej jak i do drugiej relacji. Iloczynem relacji bycia bratem oraz bycia starszym jest relacja bycia starszym bratem.

Różnica dwóch relacji to zbiór tych par, które należą do pierwszej z nich, lecz nie należą do drugiej. Jeśli od relacji bycia rodzicem odejmiemy relację bycia matką, otrzymamy relację bycia ojcem.

Dopełnienie jakiejś relacji to zbiór par, które do tej relacji nie należą. Na przykład dopełnieniem relacji bycia starszym jest relacja bycia w tym samym wieku lub młodszym.

Symbolicznie działania na relacjach przedstawiamy przy pomocy takich samych znaków, jak w przypadku „zwykłych” zbiorów, czyli: , , – , ’.

Konwers relacji to działanie, z którym się dotąd nie spotkaliśmy, jednak jego zrozumienie nie powinno sprawić większych trudności. Konwers relacji R nazywany jest często relacją odwrotną do R i bywa oznaczany symbolicznie R^-1 lub Ř. Konwers relacji R, czyli R^-1 to relacja zachodząca pomiędzy elementami y i x wtedy i tylko wtedy, gdy pomiędzy x i y zachodzi R. Symbolicznie yR^-1x  xRy. Przykładowo, konwersem relacji bycia rodzicem, jest relacja bycia dzieckiem (bowiem y jest dzieckiem x wtedy i tylko wtedy, gdy x jest rodzicem y), natomiast konwersem relacji bycia młodszym jest relacja bycia starszym. Konwersem pewnej relacji może być też czasem ta sama relacja – na przykład konwersem relacji bycia w tym samym wieku jest ta sama relacja bycia w tym samym wieku (y jest w tym samy wieku co x wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w tym samym wieku co y).

6.4.2. PRAKTYKA: WYKONYWANIE DZIAŁAŃ NA RELACJACH.

Zadań związanych z działaniami na relacjach nie ma sensu szczegółowo omawiać. Jeden przykład powinien w zupełności wystarczyć.

Przykład:

Wykonamy kilka działań na następujących relacjach: xRy  x jest bratem y, xTy  x jest rówieśnikiem y, xSy  x jest rodzeństwem y, xQy  x jest siostrą y.

R  T

Iloczyn relacji bycia bratem i bycia rówieśnikiem to relacja zawierająca pary należące zarówno do T jaki i R, a zatem relacja bycia bratem rówieśnikiem (bratem bliźniakiem) (x jest bratem bliźniakiem y).

S – R

Gdy od relacji bycia rodzeństwem odejmiemy relację bycia bratem, otrzymamy relację bycia siostrą (x jest siostrą y).

S  R

Dodając do relacji bycia rodzeństwem relację bycia bratem, nie dodajemy do S w istocie niczego nowego – wszystkie pary należące do R już się w S znajdują – a zatem wynikiem działania jest S, czyli relacja bycia rodzeństwem (x jest rodzeństwem y).

T’

Dopełnienie relacji T to zbiór par, które do T nie należą, a zatem jest to relacja bycia w innym wieku (x jest w innym wieku niż y lub: x nie jest rówieśnikiem y).

(R  Q)’

W nawiasie mamy sumę relacji bycia bratem i bycia siostrą, a więc relację bycia rodzeństwem. Dopełnienie tej ostatniej relacji to relacja nie-bycia rodzeństwem (x nie jest rodzeństwem y)

S – T’

Dopełnienie relacji T to, jak już powiedzieliśmy wyżej, relacja bycia w różnym wieku. Gdy odejmiemy ją od relacji bycia rodzeństwem, otrzymamy relację bycia rodzeństwem będącym w tym samym wieku (x jest rodzeństwem y i są w tym samym wieku, lub: x jest bliźniaczym rodzeństwem y)

Q’  S

Dopełnienie relacji Q, to relacja nie-bycia siostrą. Cześć wspólna tej relacji z relacją bycia rodzeństwem to oczywiście relacja bycia bratem (x jest bratem y).

S^-1

Relacją odwrotną (czyli zachodzącą między y i x) do relacji bycia rodzeństwem jest ta sama relacja bycia rodzeństwem (y jest rodzeństwem x).

▲