Смо з очікуванням.
Маємо систему з m лініями обслуговування. При надходженні наступного виклику в систему з очікуванням можуть бути дві ситуації в залежності від стану системи: 1) хоча б одна лінія вільна, виклик приймається і обслуговується вільною лінією; 2)всі лінії зайняті, виклик не покидає систему, він переходить в чергу і очікує, доки не звільниться будь-яка лінія, при звільненні лінія бере виклик з черги.
Отже, при відсутності вільної лінії виклик надходить в чергу. Після звільнення лінії він обслуговується, а після обслуговування виклик звільнює лінію і покидає систему. Отже, головна особливість системи з очікуванням полягає в тому, що не обслуговувані виклики створюють чергу і чекають звільнення лінії. Черга створюється із викликів, що очікують обслуговування в момент, коли всі лінії зайняті. При звільненні лінії викликів на обслуговування беруться з черги. Довжина черги є випадковою і може бути довільного розміру. Різниця даної системи від системи з втратами полягає в тому, що втрат в попередньому виді немає. Обслуговування виклику, поставленого в чергу тільки задержується.
Стан системи легко позначати числом викликів, що знаходяться в системі. На мал. 3 зображений граф станів системи для обслуговування найпростішого потоку.
Інтенсивність переходів
обчисляються параметром найпростішого
потоку λ і тому не залежать від стану.
Інтенсивність переходів
залежать від стану: 1) при
черги
немає, всі виклики обслуговуються,
тому
;
2) при k>m
чи
обслуговується
m викликів,
а
викликів
знаходяться в черзі, тому
.
Характеристики СМО з очікуванням є більш різноманітними, чим характеристики сподівань станів, сподівання затримки обслуговування і середнього числа зайнятих ліній.
Для випадку однолінійної системи (m=1) граничні сподівання станів визначаються по формулі:
Сподівання затримки обслуговування і середнє число зайнятих ліній відповідно будуть:
Перейдемо до багатолінійної
СМО з очікуванням, тобто
.
Стани системи можуть бути двох видів:
1) стани, в яких черги немає,
;
2) стани, в яких черга є
.
Перш за все граничне сподівання
стану
обраховується
за формулою:
.
Бачимо, що під знаком другої
суми знаходиться геометричний ряд з
.
Найдемо суму цього ряду при умові, що:
q<1 або
:
.
З урахуванням цієї формули для граничних сподівань отримає вигляд:
Сподівання затримки обслуговування і середнє число зайнятих ліній:
Цікаво відмітити, що при умові
або
розгляне
ний вище геометричний ряд збігається.
В іншому випадку він розходиться. Умова
збіжності ряду
має наступний зміст. Число
визначає найбільшу виробничу спроможність
системи. Якщо
,
то система справляється з обслуговуванням,
якщо ж
,
то система не справляється з обслуговуванням,
при цьому довжина черги безмежно зростає,
граничне сподівання не існує.
З проведених розміркувань випливає наступне, що СМО з втратами може обслуговувати будь – який вхідний потік, при цьому чим більша інтенсивність потоку, тим більші втрати. А система з очікуванням може обслуговувати потік обмеженої величини, для котрого обов’язково повинна виконуватись умова , так як одержання є більш складною в порівнянні з системою з втратами, так як вона потребує створення бункера з безлімітною ємністю для створення черги. Якщо є бункер тоді пояснюється незалежність середнього числа зайнятих ліній від кількості ліній в системі.