Методичні вказівки

Якщо модель містить тільки дві змінні, задачу можна розв’язати графічно. У випадку трьох змінних графічний розв’язок стає менш наочним, а при більшому числі змвнних - взагалі неможливим. Незважаючи на це, розгляд графічного методу дасть змогу зробити висновки, що послужать основою для розробки загального методу розв’язання ЗЛП (задачі лінійного програмування).

Перший крок при використанні графічного методу полягає в поданні області допустимих розв’язків, у якій водночас задовольняються всі обмеження моделі. Шукана область (простір) розв’язків задачі наприклад показана на рис. 4.1. Умови невід’ємності змінних обмежують область їх допустимих значень першим квадрантом координатної площини (частина площини над віссю x₁ і справа від осі x₂). Інші межі простору розв’язків зображені прямими лініями, побудованими по рівняннях, що отримані заміною знака “” знаком “=" в обмеженнях. Області, в яких відповідні обмеження виконуються як нерівності ( в нашому випадку - нерівності із знаком “”), указуються стрілками, спрямованими вбік допустимих значень змінних. Отриманий простір розв’язків задачі про фарби - багатокутник АВСDЕF (рис. 4.1). У кожній точці, що належить внутрішній області або межам багатокутника розв’язків АВСDЕF, всі обмеження виконуються, тому розв’язки, що відповідають цим точкам, є допустимими. Серед безкінечного числа таких точок можна знайтиточку оптимальнного розв’язку, якщо з'ясувати, в якому напрямку зростає цільова функція.  

 

Р ис. 4.1. Простір допустимих розв’язків задачі “про фарби”.

Рис. 4.2. Знаходження оптимального розв’язку ЗЛП графічним методом.

На графік наносять лінію рівня цільової функції c₁x₁+c₂x₂=z₀, де z₀ - довільне значення z. Будують вектор N (c₁, c₂), що є нормальним до ліній рівня цільової функції й визначає напрямок оптимізації z. Лінію рівня зрушують паралельно самій собі вздовж вектора N доти, поки вона не вийде за межі області допустимих розв’язків. Остання точка цієї області й буде точкою оптимуму.  Очевидно, що оптимальному розв’язку відповідає точка С- точка перетину прямих (1) і (2). Значення x₁ та x₂   в точці С визначаються шляхом розв’язання системи рівнянь.

Зазначимо, що у випадку, коли лінії рівня z мають такий самий нахил, як пряма зв’язуючого обмеження (тобто такого, що проходить через оптимальну точку), матимемо безліч оптимумів на відрізку.

Контрольні запитання

1. Мета застосування економіко-математичних методів в управлінні та організації транспортного виробництва.

2. Перелік задач транспортного виробництва, які розв'язуються з використанням математичних методів.

3. Оптимальне розв'язання.

4.. Значення понять лінійне, нелінійне та динамічне програмування.

5. Структура математичної моделі загальної задачі лінійного програмування

6. Основні етапи побудови математичної моделі.

7. Геометричні образи структурних елементів математичної моделі

8. Порядок розв'язування загальної задачі лінійного програмування.

9. Альтернативні оптимальні розв'язання.

Література: [1,3,4,5]