2.2. Побудова плоских кривих

Розглянемо різноманітні плоскі криві та методи їхнього математичного опису на площині. Розпочнемо з означення кривої. Таких означень можна навести декілька.

У нарисній геометрії криву розглядають як траєкторію, описану точкою, що рухається. Її можна також описати як лінію перерізу двох поверхонь або як множину точок, яка має будь-яку спільну властивість.

В основі класифікації кривих є природа їхніх рівнянь. Криві поділяють на алгебричні та трансцендентні залежно від їхніх рівнянь.

Крива лінія, зображена в декартових координатах рівнянням n-го степеня, називають алгебричною кривою n-го порядку. Порядок плоскої алгебричної кривої лінії визначений найбільшою кількістю точок її перетину прямою лінією. Розглянемо декілька прикладів алгебричних кривих ліній, які отримуємо в разі перерізу поверхні прямого кругового конуса площинами, що по-різному розташовані стосовно його осі. Такі криві називають конічними січеннями.

2.2.1. Конічні переріз

Конічне переріз – це деяке геометричне місце точок, для кожної з яких співвідношення відстані між точкою і фокусом та відстані між точкою і директрисою дорівнює деякому додатному числу (ексцентриситету) Якщо в цьому разі <1, то конічне січення є еліпсом, якщо >1, то – гіперболою, якщо =1, то – параболою.

Конічні січення можна описати неявною кривою другого степеня:

. (2.3)

Рівняння (2.3) описує еліпс, параболу чи гіперболу залежно від значення дискримінанта Крива буде параболою при еліпсом або колом при , і гіперболою при

Парабола–крива другого порядку, пряма перетинає її в двох точках (рис. 2.5,а). Точку F і пряму АN, відповідно називають фокусом та директрисою. Для кожної точки М(x,y), що належить параболі відстань FM=MN.

Параболу можна визначити також як лінію січення прямого кругового конуса площиною, яка не проходить через вершину конуса і паралельна до будь-якої його дотичної площини (рис. 2.5,б). В декартовій системі координат канонічне рівняння параболи в непараметричній формі має вигляд

де р – відстань від фокуса до директриси. Нижче наведемо параметричні зображення параболи

та

а) б)

Рис. 2.5 Парабола

Гіпербола – це множина точок М площини (рис.2.6,а) для яких різниця відстаней (по абсолютній величині) F₁M і F₂M є постійною величиною:

F₁M - F₂M=2а<2с.

Середину відрізку F₁F₂ називають центром гіперболи: .

а) б)

Рис. 2.6.Гіпербола

Гіперболу можна визначити також як лінію перерізу прямого кругового конуса площиною, що складається з двох незамкнених гілок, які простягаються в безмежність і лежать на двох порожнинах конуса (рис.2.6,б).

Рівняння гіперболи в прямокутній системі координат 0ху, на осі 0х якої є фокуси гіперболи, має канонічний вигляд

де – довжини півосей. Рівняння в параметричній формі такі:

або

Еліпс – це множина точок М площини (рис. 2.7,а), для яких сума відстаней МF₁ і МF₂ є сталою, F₁ і F₂ точки фокусів еліпса.

МF₁ + МF₂ =2а.

Середина відрізка F₁F₂ фокусної відстані називають центром еліпса.

Еліпс можна визначити також як замкнену овальну лінію перерізу прямого кругового конуса площиною, яка не проходить через вершину конуса і перерізає всі прямолінійні твірні однієї порож­нини цього конуса (рис. 2.7,б). У декартовій системі координат канонічне рівняння еліпса має вигляд

де – довжини великої і малої півосей еліпса. При фокуси F₁ і F2 збігаються і це рівняння визначає коло (рис. 2.7, в), яке розглядають як частковий випадок еліпса.

а) б) в)

Рис. 2.7.Еліпс

Параметричне зображення еліпса з центром у початку координат та з параметром має такий вигляд:

У випадку кола, коли , де – радіус кола, параметричне зображення набуває вигляду