2.2.2. Трансцендентні криві
Трансцендентні криві, на відміну від алгебричних, можуть мати нескінченну кількість точок перетину з прямою, точок перегину, вершин тощо.
Приклад такої функції – синусоїда у=sin
x, графіком якої є неперервна крива
лінія з періодом
.
Поряд з цим у трансцендентних кривих
можуть бути характерні точки, які не
існують в алгебричних кривих: кутові
(точки злому), асимптотичні точки та ін.
Найпростішими прикладами трансцендентних
кривих слугують графіки логарифмічних,
показникових, тригонометричних функцій,
а також усі спіралі, циклоїди та ін.
2.3. Кубічні сплайни
Розглянемо задачу проведення гладких кривих через задані точки (задачу інтерполяції). Оскільки, через дві точки можна провести скільки завгодно гладких кривих, то для розв’язування цієї задачі необхідно обмежити клас функцій, які визначатимуть шукану криву [1].
Перш ніж вивчатимемо сплайни детальніше проаналізуємо поняття інтерполяції. Для цього розглянемо такий приклад. У табл. 2.1 наведено дані про зростання населення США кожних десять років.
Зростання населення США Таблиця 2.1.
Рік |
1930 |
1940 |
1950 |
1960 |
1970 |
1980 |
Насел. ( тис. осіб) |
123,203 |
131,669 |
150,697 |
179,323 |
203,212 |
226,505 |
Нехай потрібно визначити кількість населення у 1965 або 2000рр. Це можна легко з’ясувати з інтерполяційної кривої (рис. 2.8).
Рис. 2.8. Крива зростання населення США
Інколи функцію варто шукати у вигляді
Якщо параметри (
)
визначають з умови збіжності
з наближеною функцією в точках
,
які називають вузлами інтерполяції
,
то такий спосіб наближення є інтерполюванням.
Серед способів інтерполювання найпоширенішим є випадок лінійного інтерполювання, коли наближення шукають у вигляді [19]
,
де
– фіксовані функції. Значення коефіцієнтів
визначають з умови збіжності з функцією,
що наближається в вузлах інтерполяції
:
Найчастіше маємо інтерполювання поліномами
,
а система рівнянь набуде вигляду
Твердження.
Нехай
такі, що
і
,
тоді існує один поліном
степеня не вище
,
такий, що
Зазначимо, що є декілька вимог, що їх повинні задовольняти інтерполяційні криві.
1. Якщо крива складається з окремих частин, то постає питання гладкого переходу від однієї частини до іншої.
2. Якщо крива є частиною загального рисунка, з яким можуть відбуватися трансформації (наприклад, повертання на кут), то форма кривої повинна також змінюватись.
3. Кожна невелика зміна окремої точки, що належить кривій, призводить до перерахунку всієї кривої.
4. Сумарна крива повинна не мати значних осциляцій.
Під час побудови таких кривих потрібно обчислювати дотичні, нормалі, кривини тощо, тому необхідна така параметризація, за якої легко виконувати операції диференціювання. В цьому випадку зручно вибрати поліноми від деякої кількості параметрів. Чим складніші криві, тим вони потребують вищого степеня поліномів для їхнього опису. Однак, такі поліноми потребують великої кількості коефіцієнтів і можуть спричинити небажані осциляції кривої.
Сплайнами називають функції, які використовують для апроксимації кривих. Їхньою важливою властивістю є простота обчислень. Надалі розглядатимемо кубічні сплайни.
Слово «сплайн»
прийшло до нас з галузі машинобудування,
де сплайном називали гнучку лінійку,
яку закріплювали в потрібних місцях,
так можна було домогтися плавності
кривої, яку викреслювали вздовж цієї
лінійки. Форма лінійки, якщо її розглядати
як функцію
,
задовольнятиме рівняння Ейлера –
Бернулі:
,
де M(x)
– момент згину вздовж рейки: E
– модуль Юнга, який залежить від
властивостей матеріалу рейки, I – момент
інерції, визначений формою кривої. Якщо
зафіксувати деякі точки, то момент згину
на кожному відрізку
змінюється за лінійним законом:
.
Підставимо останній вираз у вихідне
рівняння й отримаємо:
,
двічі проінтегруємо й отримаємо рівняння кривої на заданому відрізку
,
отже, форму фізичного сплайна описує кусковий кубічний поліном.
Математичний опис сплайну є
кусковим поліномом степеня
з
неперервними похідними порядку
в місцях з’єднання між сегментами.
Отже, кубічний сплайн, який найчастіше
використовують на практиці, має в місцях
з’єднання неперервність другого
порядку[21].