2.5. Базис Бернштейна-Без’є
2.5.1. Геометричні властивості поліномів Бернштейна
Однією
з найпоширеніших форм зображення
поліномів є запис у формі Бернштейна.
Вище ми розглянули лише кубічні сплайни
у формі Без’є. Узагальнимо, математичну
криву Без’є можна описати для сплайнів
порядку поліноміальною функцією[33], яка
виконує інтерполяцію між першою і
останньою вершинами:
(2.17)
або
Тут
– базисні скалярні функції Бернштейна
для множини всіх поліномів степеня не
вище
на відрізку [0,1],
– задані радіус-вектори точок положення.
Досить
часто замість одиничного відрізка [0,1]
зміни параметра доречно використовувати
відрізок
.
Тоді значення локального параметра
на
узагальненому відрізку
можна обчислити за формулою
.
На відрізку базисні функції Бернштейна такі
.
Тут
апроксимує ламану, вершинами якої є
заданий набір векторів
,
і визначає на заданому відрізку
дугу кривої Безьє
-го
порядку. Змінюванням положення векторів,
можна керувати формою дуги кривої.
Наведемо головні властивості поліномів Бернштейна.
1. Сума поліномів, визначених на заданому відрізку, дорівнює одиниці
.
Цю властивість мають також поліноми в формі Лагранжа й Ерміта.
2. Усі поліноми невід’ємні на заданому проміжку
3.
Крива, визначена поліномом
,
лежить усередині опуклої оболонки.
Часто цю властивість називають властивістю
опуклості оболонки. На площині опукла
оболонка є областю, що обмежена опуклою
ламаною, а в просторі – опуклим
багатогранником.
4. Якщо
– поліноми Бернштейна степеня
,
то поліноми
степені
обчислюються за допомогою виразу
,
де
5.
Поліноми Бернштейна
досягають максимуму якщо значення
параметра
.
Цю властивість використовують у разі
локального контролю форми кривої.
Розглянемо деякі властивості кривих
Без’є . Тут
-та
похідна кривої Без’є в крайніх точках
дуги залежить тільки від
найближчих точок, включаючи крайню
точку. Для
очевидно, що вектори
і
визначають дотичну в точці з параметром
У загальному випадку дотична в точці
визначена радіусом-вектором цієї точки
і радіусом-вектором точки
.
На підставі дослідження наведених вище легко довести, що
.
Ламана Без’є однозначно визначає форму кривої Без’є. Змінюванням положення вершин ламаної, можна керувати формою відповідної кривої Без’є. У цьому разі треба пам’ятати таке:
1. Кривій у загальному випадку будуть належати лише перша й остання вершини ламаної Без’є, решта вершин будуть лише впливати на вигляд і гладкість кривої.
2.
Нахили дотичних у крайніх точках кривої
збігаються з напрямами векторів
і
.
3.
Нахили дотичних векторів у крайніх
точках кривої Без’є і ламаної Без’є
збігаються, тому в разі спряження двох
кривих Без’є, заданих ламаними
і,
,
однаковий нахил кривих у точці з’єднання
є в тому випадку, коли точки
(точка
збігається з точкою
)
лежать на одній прямій.
4. Як видно з виразів (2.17), степінь полінома рівна – числу ланок в ламаній Без’є, тому для збільшення порядку кривої Без’є достатньо лише задати додаткові вершини у відповідній ламаній Без’є;
5. За допомогою кривих вищих порядків можна отримати неперервності декількох похідних у місцях з’єднання сегментів складної кривої.
6. Характеристична ламана визнача профіль відповідної кривої, однак чим вищий порядок кривої, тим цей зв’язок щораз втрачається.