1.1.2. Перетворення ліній та площин у просторі

З означення афінного перетворення (1.1), випливає, що різні точки в разі афінного перетворення переходять у різні точки. Кожна точка є образом деякої точки . Зробимо ще декілька висновків [24].

1. Площина в разі афінного перетворення переходить у площину, причому різні площини переходять у різні, паралельні площини – у паралельні.

2. Пряма в разі афінного перетворення переходить у пряму, а відрізок, заданий двома граничними точками, – у відрізок з новими координатами граничних точок.

3. Середина відрізка прямої переходить у середину відрізка нової прямої.

4. Оскільки, дві паралельні прямі можна визначити перерізом двох паралельних площин з третьою площиною, а паралельні площини в разі афінного перетворення переходять у паралельні, то у випадку афінного перетворення паралельні прямі переходять у паралельні.

5. Точка перетину вихідної пари ліній перетворюється в точку перетину перетвореної пари.

Приклад. Перетворення фігури в двохвимірному випадку.

Якщо зобразити фігуру як сукупність точок, то можна виконати перетворення кожної її точки, а потім їх сполучити. Фігурою буде одиничний квадрат з координатами вузлів А(0, 0, 1); В(1, 0, 1); С(1, 1, 1) D(0, 1, 1). Перетворимо квадрат за допомогою матриці перетворень з нульовими коефіцієнтами перенесення :

.

Унаслідок такого перетворення отримано нову фігуру A^*B^*C^*D^* (рис. 1.9). На підставі детального аналізу можемо зробити такі висновки.

• Вузол А= A^*, це означає, що початок координат є в точці з координатами (0, 0, 1).

• Якщо відомі координати вузлів B^* і D^*, то відома матриця перетворень.

• Якщо в разі афінного перетворення паралельні прямі переходять у паралельні, то отримана фігура – паралелограм;

• Недіагональні елементи і виконують зсув, а діагональні елементи і є масштабними коефіцієнтами. У цьому разі площа нової фігури дорівнює площі старої, помноженої на визначник перетворення.

Рис. 1.9. Перетворення одиничного квадрата

1.2. Перспективно-проекційна геометрія

Афінні перетворення

які розглядалися на початку першого розділу, є частковим випадком більш загальних, так званих перспективно проективних перетворень.

Перспективними зображеннями часто користуються художники та архітектори, оскільки ці зображення дають змогу отримати реальну картину. Побудова таких зображень зумовлює багато складностей. Однак, завдяки використанню однорідних координат, які детально описані нижче, та матриці перетворень (1.3) однаково легко можна побудувати як афінні, так і перспективно проекційні зображення.

Перспективне перетворення є, в тому випадку, коли четвертий стовпець матриці перетворень (1.3) ненульовий. Зазначимо, що в перспективній геометрії не зберігається паралельність ліній. Такі перетворення задають формулами

(1.5)

якщо коефіцієнти задовольняють умову

(1.6)

У разі перспективних перетворень, як звичайно, будують проекції на площину з деякої точки, яку називають центром проекції. Комбінація перспективної геометрії з проекційними перетвореннями утворює перспективну проекцію. Проектування виконують за допомогою прямолінійних променів, які виходять з центра проекції через кожну точку об’єкта до перетину з картинною поверхнею (поверхнею проекції), що є перетворенням зображення з тривимірного простору в двовимірний. Якщо центр проектування в нескінченності, то перспективну проекцію називають аксонометричною.