1.2.5. Неозначені точки
Перш ніж розглядатимемо
одно-, дво- та три- точкові проекції,
детальніше ознайомимося з неозначеними
точками, які розміщені в
безмежності. Деякі точки, невизначені
в n-мірному
просторі, стають визначеними в разі
переходу до однорідних координат.
Наприклад, однорідний вектор
у тривимірному просторі відповідає
безмежно віддаленій точці
.
Оскільки в однорідних координатах цю
точку можна зобразити у вигляді
при
,
то в тривимірному просторі це відповідає
точці
,
яка є точкою безмежно віддаленою на осі
z. Отже,
однорідний вектор (1,0,0,0) відображає
точку в безмежності на осі
,
однорідний вектор (0,1,0,0) – точку в
безмежності на осі
.
Як звичайно, двовимірний однорідний
вектор
описує точку в нескінченності на лінії
.
Розглянемо такий приклад. Нехай дано три невизначених точки в безмежності (A, B, C) на осях ОХ, OY, OZ, відповідно, з координатами (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) і нехай задана матриця перетворень (1.7) з ненульовими коефіцієнтами в четвертому стовпці (триточкова перспектива). Внаслідок перетворень отримаємо три означені нормалізовані точки (A*, B*, C*)
х
=
=
.
Так неозначена точка A
перетворюється в означену точку A*
з координатами
;
точка B
– в точку B*
;
а точка С
– в точку C*
.
Точки (A*, B*, C*) утворюють три точки збіжності VP1, VP2, VP3. Прямі, які були спочатку паралельні до осі , після перетворення збігаються в точці VP1. Те ж саме відбувається і з прямими, що перед перетворенням були паралельні до осей і , вони, відповідно, збігаються в точках VP2 і VP3.
У разі одноточкової перспективи, внаслідок перетворень отримаємо лише одну точку збіжності на осі . Точки B і C перетворились у точки B* і C* . Отже, прямі, які перед перетворенням були паралельні, відповідно до осей і , залишились паралельними і після перетворення.
1.2.6. Одноточкова перспективна проекція
Суть цього проектування полягає в такому: чим глибше предмет, тим більше значення z-координати і знаменника rz+1, тим меншим виглядає предмет на площині проекції. Перспективні перетворення з однією точкою збіжності VP, відповідно, на осях х, y, z матимуть вигляд
, (1.16)
, (1.17)
. (1.18)
Такі перетворення називають одноточковими, або паралельними, перспективними перетвореннями.
Приклад.
Відобразимо одиничний куб з вершинами,
(A,B,C,D,E,F,G,I)
(рис.1.19)
на площину z = 0. Приймемо на осі z
значення k
= -10 і, отримаємо
=
-1/10 = -0,1. Запишемо матричні перетворення
вершин куба (A,B,C,D,E,F,G,I),
одержимо нормалізовані координати
проекції (A*,B*,C*,D*,E*,F*,G*,I*).
Застосовуємо формулу (1.18) для отримання
одноточкової перспективної проекції
.
Після перетворення отримаємо проекцію на площині xy, яка зображена на рис. 1.19,б). Якщо центр ваги куба є в точці (0, 0, 0), то проекція набуде вигляду, як зображено на рис. 1.19 в). Отже, якщо точка спостереження розміщена на лінії, перпендикулярної до передньої грані одиничного куба в її центрі, то одноточкова перспектива не зазнає спотворення.
а б в
Рис.1.19 Одноточкова проекція одиничного куба
Тут усі бічні площини перетинаються в одній точці збіжності (VP) на горизонтальній лінії, яка розташована на рівні очей. Передня і задня площини куба є паралельними до площини зображення і не перетинаються.