Определяем устойчивость системы
По расположению корней характеристического уравнения.
При τ = 0; К=20; Т = 100 характеристическое управление принимает вид:
100s2 + 20s + 3.8 =0
Находим корни этого уравнения:
Вывод. Поскольку вещественные части комплексно-сопряженных корней меньше нуля (корни расположены в левой полуплоскости), то система устойчива.
По критерию Гурвица.
Составляем определитель Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения:
Находим величины всех диагональных миноров:
Δ0 = 100 > 0; Δ1 = 20 > 0; Δ2 = 20*3,8 – 100*0 = 76 > 0.
Вывод. Поскольку все диагональные миноры положительны, то рассматриваемая система устойчива.
По критерию Михайлова.
Подставляя в характеристический полином s= iω, определяем вектор Михайлова:
М (iω) = 100(iω)2 + 20(iω) + 3,8 = Re(ω) + iIm(ω),
где Re(ω) = 3,8 – 100 ω2; Im(ω) = 20ω.
Изменяя частоту ω от 0 до ∞, устанавливаем то, что конец вектора М(iω) описывает годограф, расположенный в первом и втором квадрантах комплексной плоскости.
Рисунок 17 Годограф Михайлова
Вывод. Годограф Михайлова начинается на положительной вещественной полуоси последовательно проходит число квадрантов комплексной плоскости, равное порядку характеристического уравнения. Следовательно, система устойчивая.
2. Определяем устойчивость системы.
По критерию Найквиста.
Подставляя s = iω в выражение для W(s), построим в комплексной плоскости график комплексной частотной характеристики разомкнутой системы W(iω) при К = 1, Ти = 25 с.
Для этого сначала построим КЧХ апериодического звена.
График этой КЧХ представляет собой полуокружность, расположенную в четвертом квадранте комплексной плоскости. Радиус полуокружности равен К/2, а ее центр расположен на положительной вещественной полуоси на расстоянии К/2 от начала координат.
Рисунок 18 Комплексная частотная характеристика апериодического звена
Задаваясь значениями
ω,
вычислим несколько (4…5) значений угла
и строим (4…5) векторов КЧХ, используя
транспортир. Значения ω
рекомендуется выбирать в таком промежутке
ω*≤ω≤ω**,чтобы
соответствующие значения угла φ
равномерно
располагались в секторе 45º≤φ≤80º.
Значения ω*
и ω**
легко
вычислить по формулам:
;
Модули построенных векторов А можно вычислить по формуле
однако вместо вычислений проще измерить их с помощью обычной линейки.
Затем построим
годограф КЧХ объекта W0
(iω).
Для этого, использую циркуль и транспортир,
повернем каждый вектор Wr(iω)
на угол β =
ωτ по часовой
стрелке, то есть угол векторов КХЧ
объекта ά =
φ + β.
Использование транспортира предполагает
перевод угла β
из радианов в градусы:
Рисунок 19 Построение комплексной частотной характеристики объекта
Для построения требуемого участка КХЧ разомкнутой системы W (iω) достаточно располагать участком W0 (iω) в пределах третьего квадранта комплексной плоскости. Из концов векторов КЧХ объекта на этом участке восстановим к ним перпендикуляры по направлению к отрицательной вещественной полуоси. Длину перпендикуляра определяем по формуле:
Соединяя концы перпендикуляров плавной кривой, получаем годограф КХЧ разомкнутой системы W (iφ) (рис. 20 6.6) при kr = 1 и Ти = 25 с.
Вывод. Поскольку годограф W (iφ) охватывает точку с координатами (-1, i0), то рассматриваемая система неустойчива. При получении такого вывода необходимо предложить меры по устранению неустойчивости системы.
Рисунок 20 Построение требуемого участка комплексной частотной характеристики разомкнутой системы по соответствующему участку характеристики объекта (γ1=-15,4°; γ2=9,2°;γ3=30,8°;γ4=50,4°)