3.2.3.2 Пример проверки гипотезы о нормальности распределения

1. Проверку нормальности распределения случайных величин выполним для выборки сформированной в лабораторной работе № 2 (табл. 2.4). Для расчета показателей асимметрии, эксцесса и ²-критерия используются результаты расчетов статистических выборок по табл. (2.4) и (2.5). Это границы интервалов y_JН и y_JB, число наблюдений в интервале m_J, относительную частоту P_J^*, разность средних в интервале и выборке (y_J^*-y).

2 . Предварительная проверка нормальности распределения. Дополним табл. 3.2 необходимыми для расчета асимметрии и эксцесса данными из табл. 2.4 и представим ее в виде табл. 3.5

Таблица 3.5

Выборочные показатели асимметрии и эксцесса

Номер интервала, J	Число наблюдений в интервале, mJ	Середина интервала, yJ*	Среднее выборки, y	yJ*-y	(yJ*-y)3	mJ(yJ*-y)3	(yJ*-y)4	mJ(yJ*-y)4
1	4	31,65	37,0	-6,65	294,0	1176,0	1955,0	7820,0
2	11	33,65	37,0	-4,65	100,4	1100	467,0	5137
3	6	35,65	37,0	-2,65	18,6	111,6	49,3	295,8
4	14	37,65	37,0	0,65	0,3	4,2	0,2	2,8
5	8	39,65	37,0	2,65	18,6	148,8	49,3	394,4
6	6	41,65	37,0	4,65	100,4	602,4	467,0	28020
7	1	43,65	37,0	6,65	294,0	294,0	1955,0	1955

 3438  18406,6

Рассчитаем показатели нормальности распределения для выборки с объемом N=50 и эмпирическим стандартом S=3.75 (см. табл. 2.5). Показатель асимметрии А по формуле 3.11 равен

,

показатель эксцесса Е по формуле (3.12) равен

,

среднее квадратическое отклонение асимметрии _А по формуле (3.14) равно

.

среднее квадратическое отклонение эксцесса _Е по формуле (3.14) равно

.

Полученные показатели А=1,03 и _А=0,33, Е=1,48 и _Е=0,62 и их отклонения А/_А=3,1 и Е/_Е=2,4 хотя и удовлетворяют требованиям нормальности распределения, но находятся вблизи критической области. В связи с этим целесообразно выполнить проверку нормальности распределения по критерию ² Пирсона.

3. Проверка нормальности распределения по критерию ² Пирсона. Для определения расчетного значения ²- критерия Пирсона по формуле (3.7) составляется вспомогательная табл. 3.6 по форме табл. 3.3.

Таблица 3.6

Результаты вычисления значений ²- критерия Пирсона

№ интервала	yJH	yJB	mJ	Z1	Z2	Ф( Z1)	Ф( Z2)	РJ	РJn	(mJ- РJn)	(mJ- РJn)2	(mJ- РJn)2 РJn
1	30,65	32,65	4	-1,69	-1,16	-0,4454	-0,3749	0,070	3,5	0,5	0,25	0,07
2	32,65	34,65	11	-1,16	-0,63	-0,39794	-0,2353	0,140	7,0	4,0	16,0	2,28
3	34,65	36,65	6	-0,63	-0,09	-0,2353	-0,0353	0,200	10,0	4,0	16,0	1,60
4	36,65	38,65	14	-0,09	0,44	-0,0953	0,1700	0,205	10,2	3,8	14,4	1,41
5	38,65	40,65	8	0,44	0,97	0,1700	0,3337	0,164	8,2	0,2	0,04	0,005
6	40,65	42,65	6	0,97	1,51	0,3337	0,4332	0,600	5,0	1	1	0,20
7	42,65	44,65	1	1,51	2,04	0,4332	0,4782	0,045	2,25	1,25	1,56	1,25

Σ=6,82

Расчетное значение ²- критерия Пирсона ²=6,82. Табличное значение ²_табл для числа степеней свободы f=R-3=7-3=4 и принятом 5%-ном уровне значимости q по табл. П.8 Приложения составит ²_табл=9,49. В нашем примере ²_расч²_табл, следовательно, нулевая гипотеза о нормальности распределения случайных величин (К - удельной работы резания) принимается.

4. Построение нормальной кривой по опытным данным 7, §7 гл.17. Теоретическая кривая нормального распределения по данным наблюдений рассчитывается следующим образом:

а ) устанавливаются значения выборочного среднего и эмпирического стандарта: y=37; S=3,75 для нашей кривой;

б) рассчитываются ординаты n_J (выравнивающие частоты) теоретической кривой по формуле

, (3.15)

где N – число испытаний (опытов);

h – длина интервала, h=2 для нашего случая;

φ(u_J) – дифференциальная функция нормированного распределения (нормальная плотность ряда)

. (3.16)

Аргумент из функции  (u_J) определяют из выражения

. (3.17)

где y_J^* - середина J-го интервала (табл. 3.5).

В приближении при (y_J^*-y)0 наибольшая ордината кривой (частота) составит

. (3.18)

Н екоторые значения  (u) при малых величинах разности (y-y) приведены в таблице 3.7.

Таблица 3.7

Значения функции  (u)

u	0	0,1	0,2	0,3	0,5	1,0
 (u)	0,3983	0,3970	0,3910	0,3914	0,3521	0,2420

О пределим максимальную ординату кривой для минимальной разности (y_J^*-y)=0,65 (табл.3.5). По формуле (3.17) имеем

.

По табл. 3.7 определим значение функции  (u_J)=0,3952, а по формуле (3.15) частоту n_max

.

Округляем величину максимальной частоты теоретической кривой распределения, n_max=11.

в) каждая из ветвей симметричной кривой нормального распределения строится не менее, чем по четырем точкам. Ординаты остальных точек кривой строят в соответствии с абсциссами, выраженными в долях S, приведенными табл. 3.8.

Таблица 3.8

Значение ординат теоретической кривой распределения

Доля S	0	±0,5 S	±1,0 S	±1,5 S	±2,0 S	±2,5 S	±3,0 S
КJ=nJ/nmax	1	0,883	0,607	0,325	0,135	0,044	0,011

По приведенным данным вычисляются значения других ординат кривой (табл.3.9)

(3.19)

Расчеты выравнивающих частот n_J и функции плотности вероятности для нашего примера приведены в табл. 3.9.

Таблица 3.9

Значения кривой нормального распределения

Доля S	0	0,5S	1S	1,5S	2,0S	2,5S	3,0S
yJ	0	1,8	3,7	5,6	7,5	9,4	11,3
КJ=nJ/nmax	1	0,883	0,607	0,325	0,135	0,044	0,011
nJ= КJ nmax	11	10	7	4	2	1	0
Р =nJ/N (f(y))	0,22	0,20	0,16	0,084	0,040	0,005	0
у, мм	37

По результатам вычислений строятся совмещенные графики опытных данных (гистограммы) и нормальной кривой, приведенных на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Кривая нормального распределения,

совмещенная с гистограммой выборки

Большинство статистических оценок предполагает нормальное распределение результатов опытов и может быть несправедливо в случае другого распределения. Поэтому применение этих оценок допустимо лишь при достаточной уверенности, что распределение этих величин близко к нормальному.

Лабораторная работа № 4

ИССЛЕДОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИОННЫХ

ЗАВИСИМОСТЕЙ

Цель работы – исследование корреляционных зависимостей между случайными величинами, расчет коэффициента корреляции, проверка гипотезы о некоррелированности случайных величин.

4.1. Содержание и порядок выполнения работы

Перед выполнением работы необходимо самостоятельно изучить раздел 2.11 2.

1. Снять выборку из N наблюдений в виде 20 пар чисел (x_J; y_J) с графиков на рисунках по выбранному варианту задания.

2. Из таблицы случайных чисел выписать блок случайных чисел J ℓ, где J – номер строки, а ℓ - номер столбца случайных чисел.

Принять J=1,2,…., N; ℓ=1.2,…., n=3 или 5.

3. Провести имитационный эксперимент с одной из случайных величин пары (x_J; y_J) - y_J для получения ее дублированных значений у_J1, у_{J 2},…., у_Jℓ. Принять относительную погрешность в эксперименте ε=0,01.

4. Определить среднее значение , составить таблицу пар ( ) случайных величин.

5. Нанести на график точки, соответствующие результатам эксперимента. Провести качественный анализ поля корреляции.

6.Проверить гипотезу о некоррелированности случайных величин: рассчитать выборочный коэффициент корреляции r, определить расчетное и табличное значения t-критерия Стьюдента; проверить условие некоррелированности величин t_расч t_табл . Провести количественный анализ поля корреляции.