6.4. Метод Симпсона

В этом методе отрезок интегрирования разбивается на четное число равных частей с шагом . На каждом отрезке подынтегральная функция заменяется интерполяционным многочленом второй степени:

В качестве можно принять интерполяционный многочлен Лагранжа второй степени, график которого проходит через точки , где .

В этом случае площадь под кривой на каждом отрезке заменяется площадью под параболой, а эту площадь легко посчитать, т.к. первообразная квадратичной функции известна:

д ля ее первообразной будет .

Рис. 3

Сумма же этих площадей дает нам приближенное значение интеграла. Формула метода Симпсона имеет вид:

Главный член погрешности этой формулы равен:

.

Надо упомянуть об одном практическом аспекте в вычислении интегралов. Обычно требуется вычислить интеграл с заданной точность , т.е. получить такое приближенное значение его , чтобы выполнялось .

Удовлетворить этому требованию можно, либо выбрав число разбиения отрезка интегрирования так, чтобы главный член погрешности по модулю был меньше , либо воспользовавшись следующим приемом.

Посчитать значение интеграла для некоторого . Затем сделать такие же расчеты для . Затем сравнить полученные результаты. Если окажется, что , то считать точность достигнутой и принять . Если же условие не выполняется, то вновь удвоить число разбиений отрезка и сравнить два последних приближения так, как это было предложено выше. Закончить процесс при выполнении указанного условия и последнее принять за искомое значение интеграла.

Этим приемом часто пользуются на практике, если трудно бывает оценить главный член погрешности.

6.5. Пример 1

Вычислим по методу левых прямоугольников интеграл с точностью .

Разобьем отрезок на 10 частей. Следовательно . Воспользуемся формулой:

.

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

6.6. Пример 2

Вычислим по методу трапеций интеграл с точностью .

Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:

.

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

6.7. Пример 3

Вычислить по методу Симпсона интеграл с точностью .

Разобьем отрезок на 10 частей: . Воспользуемся формулой:

Тогда

Теперь проделаем аналогичные расчеты для . Получим

И сравним модуль разности полученных результатов с заданной точность: . Принимаем за значение интеграла последнее полученное значение, т.е. .

6.8. Упражнения для самостоятельного решения

Вычисление интеграла методом Симпсона

6.8.1. Задача №1

Маятник длины l с размахом  имеет период колебаний, равный , где g – ускорение силы тяжести, а K задается формулой :

.

При малых углах  и тогда . Маятник, для которого называется секундным, т.к. при малых углах  половина периода его колебаний равна 1 секунде. Половина периода колебаний секундного маятника при размахе  вычисляется по формуле .

Необходимо для секундного маятника при заданном значении размаха  вычислить величину множителя K и определить на сколько секунд в день врут часы с таким секундным маятником, спешат они или отстают.

Задание выполнить по вариантам:

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
, 	2	5	7	10	15	25	1	6	40	45	13	21