2.4. Пример 2

Вычислим с помощью метода Ньютона корень уравнения с точностью .

Под точностью будем понимать отклонение модуля функции от нулевого значения.

Выберем в качестве левой границы отрезка . Значение функции в этой точке равно . В качестве правой границы можно взять . Значение функции в этой точке равно . А значит, выполняется необходимое условие применения метода .

Кроме этого выполняется требование непрерывности второй производной функции: – непрерывная функция.

А также на выбранном отрезке вторая производная функции не меняет знак. Действительно, больше нуля на всем отрезке .

Выберем в качестве первого приближения , т.к. .

Найдем второе приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем третье приближение корня

Значение функции в этой точке равно

поэтому продолжаем и ищем четвертое приближение корня

Значение функции в этой точке равно

.И так далее до достижения точности.

2.5. Упражнения для самостоятельного решения:

3. Методы решения систем линейных уравнений

3.1. Основные понятия

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

В ней a_ij – коэффициенты при неизвестных x_j. Решением этой системы называется такой набор значений неизвестных x_j, который удовлетворяет системе.

Коэффициенты a_ij можно записать в виде матрицы (таблицы):

, правую часть системы в виде вектора , а неизвестные в виде вектора . Тогда систему можно записать в виде матрично-векторного уравнения .

Известно, что такая система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда матрица системы невырожденная, т.е. (дискриминант матрицы не равен нулю).

Для решения таких систем используются как прямые методы, в которых получают точные значения неизвестных после применения заранее известного числа операций, так и итерационные методы, в которых число шагов (итераций) заранее неизвестно, и на каждом шаге получают некоторое приближенное решение системы до тех пор, пока не будет получено решение с нужной точностью.

3.2. Метод Гаусса

Этот метод относится к прямым методам решения линейных систем. Он основан на приведении матрицы системы к треугольному виду путем последовательного исключения неизвестных из уравнений системы (прямой ход метода Гаусса) и последующем решении этой треугольной системы, начиная с последнего уравнения (обратный ход метода Гаусса).

Сначала с помощью первого уравнения исключается из всех последующих уравнений системы. Затем с помощью второго уравнения исключается из третьего и всех последующих уравнений и т.д. При этом, если в уравнении с номером k отсутствует неизвестная ( ), то производится перестановка этого уравнения с любым нижестоящим уравнением, содержащим эту переменную.

Этот процесс называется прямым ходом Гаусса и продолжается до тех пор, пока в левой части последнего (n-го) уравнения не останется лишь один член с неизвестным .

Если на каком-то этапе этого процесса оказывается, что очередной исключаемой переменной уже нет ни в одном из последующих уравнений, то матрица системы является вырожденной, и метод Гаусса в этом случае неприменим.

Обратный ход метода Гаусса состоит в последовательном вычислении неизвестных. Решая последнее уравнение, находят единственное неизвестное . Далее, используя это значение, из предыдущего уравнения вычисляют и т.д. Последним находят из первого уравнения.

Рассмотрим применение метода Гаусса для системы из трех уравнений:

(1)

Для исключения из второго уравнения прибавим к нему первое, умноженное на . Затем, умножив первое уравнение на и прибавив результат к третьему уравнению, также исключим из него . Получим равносильную систему уравнений вида:

(2)

Теперь из третьего уравнения системы (2) нужно исключить . Для этого умножим второе уравнение на и прибавим результат к третьему. Получим:

(3)

Матрица системы (3) имеет треугольный вид. На этом завершается прямой ход метода Гаусса.

Заметим, о чем уже говорилось выше, что в процессе исключения неизвестных приходится выполнять операции деления на и т.д. Поэтому они должны быть отличны от нуля; в противном случае необходимо соответственным образом переставить уравнения системы.

Обратный ход начинается с решения третьего уравнения системы (3):

Используя это значение, можно найти из второго уравнения, а затем из первого:

Аналогично строится вычислительный алгоритм для линейной системы с другим числом неизвестных.