6.9. Упражнения для самостоятельного решения

Вычисление определенного интеграла методом трапеций

6.9.1. Задача №1

Два прямолинейных участка дороги часто сопрягают по кривой, которая строится следующим образом: для первой половины кривой ее кривизна пропорциональна ее длине, вторая же половина кривой строится симметрично первой. Т.е. если величина S – длина участка кривой, отсчитываемая от ее начала, а K – кривизна кривой в конце этого участка, то .

Такие кривые называются клотоидами или спиралями Карно.

Можно показать, что в прямоугольных координатах кривая задается следующим образом:

Эти интегралы носят название интегралов Френеля.

Положим . Необходимо рассчитать координаты x, y точек сопрягающей кривой при различных S.

Вычисления интегралов предлагается провести по формуле трапеций.

Данные по вариантам:

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
S	0.5	0.75	1	1.25	1.5	1.75	2	2.25	2.5	2.75	3	3.25

7. Методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

7.1. Основные понятия

Решение задачи Коши для уравнения вида заключается в отыскании функции , удовлетворяющей этому уравнению и начальному условию .

Есть задачи, для которых решение можно найти аналитически. Но таких задач немного. А для остальных используют приближенные методы решения. Эти методы не дают аналитического вида функции, а значит и нельзя получить значение искомой функции в любой точке. Но они позволяют оценить приближенно значения искомой функции на некотором отрезке , где , а правый конец отрезка задан, исходя из потребностей.

Для получения решения приближенными методами указанный отрезок разбивается на n равных частей точками , так что . При этом говорят, что задается сетка. Шагом сетки h называется расстояние между соседними точками разбиения (узлами) . Оно равно . Значение функции в начальной точке сетки известно: оно задается начальным условием . Значение функции в каждом следующем узле сетки рассчитывается по значению в предыдущем узле по формулам метода. Таким образом, приближенные методы позволяют найти решение уравнения в виде сеточной функции со значениями в узлах сетки .

Познакомимся с некоторыми из этих методов.

7.2. Метод Эйлера

Этот простейший численный метод заключается в разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов сетки в котором отбрасываются все члены, содержащие производные второго и более высоких порядков. Запишем это разложение в окрестности узла :

Т.к. и , то, отбрасывая , получаем:

.

Введя обозначение , окончательно получаем формулу метода Эйлера, позволяющую по значению искомой функции в точке найти значение ее в следующем узле :

.

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок . Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член .

7.3. Модифицированный метод Эйлера

Этот метод имеет лучший порядок точности, и формулу для него получают, оставляя в разложении функции в ряд Тейлора в окрестностях узлов слагаемые, содержащие вторую производную:

. (1)

Затем аппроксимируют вторую производную с помощью отношения конечных разностей:

(2)

Подставляя выражение (2) вместо второй производной в (1), получают:

.

И после преобразования:

(3)

Заменяя производные выражениями

и ,

где - найдено по формуле Эйлера, т.е. , получают формулу модифицированного метода Эйлера:

, где

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок . Это следует из того, что для получения формулы был отброшен член .