6. Численное интегрирование
6.1. Основные определения
Методы
численного интегрирования используются
в тех случаях, когда необходимо найти
значение определенного интеграла вида
,
но аналитически посчитать его значение
не представляется возможным из-за
сложного вида подынтегральной функции.
Известно, что значение определенного
интеграла равно
,
где
–
значения первообразной
для подынтегральной функции
в точках
соответственно. Например,
.
Но далеко не для всякой функции
легко указать
,
как это сделано в примере. Тогда прибегают
к численному интегрированию.
Есть еще, правда, способ подсчета значения интеграла путем предварительного представления подынтегральной функции в виде степенного ряда Тейлора и последующего интегрирования многочлена, представляющего несколько первых членов этого ряда. Но этот способ мы здесь рассматривать не будем. А рассмотрим находящие наибольшее применение методы численного интегрирования.
Вспомним некоторые понятия, необходимые для дальнейшего изложения.
Пусть
на отрезке
задана функция
.
С помощью точек
разобьем отрезок
на
отрезков
(
),
причем
.
На каждом из этих отрезков выберем
произвольную точку
и найдем произведение значения функции
в этой точке
на длину отрезка
:
.
Составим сумму таких произведений:
Сумма
называется интегральной
суммой.
Определенным
интегралом от
функции
на отрезке
называется предел интегральной суммы
при неограниченном увеличении числа
точек разбиения и стремлении к нулю
длины наибольшего отрезка разбиения:
Известно,
если
непрерывна на отрезке
,
то предел интегральной суммы существует
и не зависит от способа разбиения отрезка
и выбора точек
.
Рис. 1
Геометрический
смысл введенных
понятий для случая
0
проиллюстрирован на рисунке 1. Величины
представляют из себя площади
прямоугольников, отмеченных пунктирной
линией, а сама интегральная сумма –
площадь ступенчатой фигуры, образуемой
этими прямоугольниками. При стремлении
же к нулю длин отрезков разбиения площадь
этой ступенчатой фигуры стремится к
площади фигуры, заключенной под кривой
.
Это и есть значение интеграла.
Используют следующие методы численного интегрирования.
6.2. Метод прямоугольников.
В
этом методе непосредственно заменяют
значение определенного интеграла
интегральной суммой, разбивая обычно
отрезок интегрирования на
равных по длине отрезков. Тогда
,
являющуюся длиной отрезка разбиения,
называют шагом разбиения. В качестве
могут выбираться левые (
)
или правые (
)
границы отрезков разбиения или их
середины (
).
Получают следующие формулы
метода
прямоугольников,
отвечающие этим трем способам выбора
точек
:
а) Формула левых прямоугольников
б) Формула правых прямоугольников
в) Формула средних прямоугольников
Главные члены погрешностей этих формул равны соответственно:
6.3. Метод трапеций
В
этом методе применяют линейную
интерполяцию интегрируемой функции,
т.е. график функции
представляют в виде ломаной, соединяющей
точки
.
В этом случае площадь под кривой на
каждом отрезке разбиения заменяется
площадью под прямой, которая равна
площади прямоугольной трапеции с высотой
и основаниями
,
т.е.
.
Получается формула
трапеций
,
г
де
.
Рис. 2
Главный член погрешности этой формулы равен:
.