7.4. Метод Рунге-Кутта

Этот метод является самым популярным, т.к. дает хороший порядок точности. Формулу для этого метода получают, сохраняя в представлении функции в виде ряда Тейлора в узлах большее число членов. Т.к. вывод ее достаточно громоздкий, то он здесь не приводится.

Формулы метода Рунге-Кутта имеют следующий вид:

, где

Погрешность метода на каждом шаге вычислений имеет порядок .

Отметим некоторые существенные моменты применения указанных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальным условием .

Заметим, что погрешность вычислений с каждым следующим шагом может иметь тенденцию к накоплению. Отсюда сразу следует, что лучше применять для расчетов методы, дающие более точный результат на каждой итерации. Из рассмотренных выше методов лучшим является метод Рунге-Кутта, ошибка в котором пропорциональна шагу в пятой степени. А так как шаг выбирается обычно маленьким, то и ошибка мала.

Если метод решения выбран, то следующая задача – это выбор шага . И тут возникает следующая проблема. Допустим, нужно получить значения искомой функции на отрезке , где . С одной стороны, шаг нужно взять маленьким, чтобы ошибка каждого шага была небольшой. С другой стороны, при этом возрастет число шагов вычислений, что приводит в свою очередь к накоплению ошибки. Так что шаг в каждом случае следует выбирать некоторым оптимальным образом.

7.5. Пример 1

Решим предлагаемую ниже задачу Коши методом Эйлера с заданным шагом на отрезке :

Для данной задачи можно указать аналитическое выражение для функции решения. Легко проверить, что это будет функция . Здесь специально выбрана такого рода задача, чтобы иметь возможность сравнить работу методов, зная точные значения функции решения в точках разбиения отрезка .

Проведем расчеты по формуле Эйлера.

По условию . Формула Эйлера имеет вид:

Следовательно,

Выпишем полученные по методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

	Метод Эйлера	Точное решение	Ошибка вычислений
	1.2000	1.2221	0.0221
	1.4420	1.4977	0.0557
	1.7384	1.8432	0.1048
	2.1041	2.2783	0.1742
	2.5569	2.8274	0.2705
	Метод Эйлера	Точное решение	Ошибка вычислений
	3.1183	3.5202	0.4019
	3.8139	4.3928	0.5789
	4.6747	5.4895	0.8148
	5.7377	6.8645	1.1268
	7.0472	8.5836	1.5364

7.6. Пример 2

Рассмотрим ту же задачу и решим ее теперь модифицированным методом Эйлера:

Формула метода имеет вид

, где

Проведем по ней расчеты

Выпишем полученные по модифицированному методу Эйлера значения функции и значения точного решения в этих же точках в таблицу и проследим накопление ошибки:

	Модифициро-ванный метод Эйлера	Точное решение	Ошибка вычислений
	1.2210	1.2221	0.0011
	1.4948	1.4977	0.0029
	1.8375	1.8432	0.0057
	2.2685	2.2783	0.0098
	2.8118	2.8274	0.0156
	3.4964	3.5202	0.0238
	4.3579	4.3928	0.0349
	5.4393	5.4895	0.0502
	6.7938	6.8645	0.0707
	8.4856	8.5836	0.0980

Сравнивая картину погрешностей в этом методе и в методе Эйлера, можно видеть, что погрешности модифицированного метода Эйлера на порядок меньше соответствующих погрешностей метода Эйлера.